[論文レビュー] Multivariate Spearman's rho for aggregating ranks using copulas

Justin Bedő, Cheng Soon Ong|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Multi-Criteria Decision Making参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、コピュラを用いた多変量スピアマンのrhoに基づく非パrametricな順位集約手法を提案する。この手法は、コンSENSUS順位と専門家リストの間の相関を最大化する。正規化順位の対数変換を介して閉形式の最小二乗解を導出し、極端な順位（トップ-k／ボトム-k）に対して不偏補完を適用することで、MQ2007およびMQ2008でベンチマークを上回る性能を達成する。

ABSTRACT

We study the problem of rank aggregation: given a set of ranked lists, we want to form a consensus ranking. Furthermore, we consider the case of extreme lists: i.e., only the rank of the best or worst elements are known. We impute missing ranks by the average value and generalise Spearman's ρto extreme ranks. Our main contribution is the derivation of a non-parametric estimator for rank aggregation based on multivariate extensions of Spearman's ρ, which measures correlation between a set of ranked lists. Multivariate Spearman's ρis defined using copulas, and we show that the geometric mean of normalised ranks maximises multivariate correlation. Motivated by this, we propose a weighted geometric mean approach for learning to rank which has a closed form least squares solution. When only the best or worst elements of a ranked list are known, we impute the missing ranks by the average value, allowing us to apply Spearman's ρ. Finally, we demonstrate good performance on the rank aggregation benchmarks MQ2007 and MQ2008.

研究の動機と目的

• 専門家から提供される極端な順位（トップ-kまたはボトム-k）のみが利用可能な状況における順位集約の課題に対処すること。
• コピュラを用いてスピアマンのrhoを多変量設定に一般化し、より良いコンセンサス順位を得る非パrametric手法の開発。
• 2人ずつのペアワイズではなく、同時に複数の専門家の間の依存関係をモデル化することにより、モデリングの柔軟性と計算効率を向上させること。
• 最小二乗法を用いた専門家の重み学習の閉形式解を提供することにより、複雑な最適化やサンプリングを回避すること。

提案手法

• 本手法は、コピュラを介して定義される多変量スピアマンのrhoを用い、コンセンサス順位と専門家の順位の間の一致度を測定する。
• 正規化順位の幾何平均が多変量スピアマンのrhoを最大化することを導出し、順位の対数変換の理論的根拠を示す。
• 対数順位上で最小二乗最適化問題を定式化する：min_ω ∑(l(x) − ∑ω_d r_d(x))² であり、重みωの閉形式解が得られる。
• 欠損順位は平均値を用いて補完され、相関の上限・下限を制御し、頑健性を向上させるための楽観的および悲観的補完戦略が採用される。
• 順位を(0,1)区間へ変換し、対数スケーリングを適用することで、順位の依存関係の線形モデリングが可能になる。
• 従来のペアワイズ手法とは異なり、本手法は多変量フレームワーク内で専門家の間の依存関係を明示的にモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コピュラを用いて定義される多変量スピアマンのrhoを用いることで、専門家の間の依存関係を捉えた根拠に基づいたコンセンサス順位を導出できるか？
• RQ2 スピアマンのrhoを、不完全または極端な順位（例：トップ-kやボトム-kの要素のみが分かっている場合）に対応させるにはどうすればよいか？
• RQ3 多変量相関を最大化する順位集約に対して、閉形式解が存在するか、計算的に効率的か？
• RQ4 欠損順位の補完戦略は、極端な順位状況下でも相関の不偏推定を保持できるか？
• RQ5 標準的な順位集約データセットにおいて、本手法は既存のベンチマークと比較してどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 正規化順位の幾何平均が多変量スピアマンのrhoを最大化することから、提案手法の重み付けスキームに理論的根拠が与えられる。
• 正規化順位の対数変換後に、最小二乗法による専門家の重みの閉形式解が得られ、計算が効率的になる。
• 平均値を用いた欠損順位の補完は、極端な順位状況下でもスピアマンのrhoの不偏推定を達成する。
• 楽観的および悲観的補完戦略は相関を有効に制御し、大学順位集約実験において頑健性を示す。
• 本手法は標準ベンチマークMQ2007およびMQ2008で優れた性能を発揮し、既存のアプローチを上回る順位集約タスクの性能を達成する。