[論文レビュー] Mumford-Shah and Potts Regularization for Manifold-Valued Data with Applications to DTI and Q-Ball Imaging

Andreas Weinmann, Laurent Demaret+1 more|Oct 7, 2014

Bone and Joint Diseases参考文献 77被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多様体値データに対するムーフォード＝シャハおよびポットス正則化のための新規アルゴリズムを提案する。Cartan-Hadamard多様体上での動的計画法と凸最適化を活用し、データ空間の離散化を伴わずにグローバル最小値を計算する。この手法により、拡散テンソル画像法（DTI）およびQボール画像法におけるエッジを保存するノイズ除去とセグメンテーションが可能となり、理論的収束保証のもとで正確なcorpus callosumのセグメンテーションを達成する。

ABSTRACT

Mumford-Shah and Potts functionals are powerful variational models for regularization which are widely used in signal and image processing; typical applications are edge-preserving denoising and segmentation. Being both non-smooth and non-convex, they are computationally challenging even for scalar data. For manifold-valued data, the problem becomes even more involved since typical features of vector spaces are not available. In this paper, we propose algorithms for Mumford-Shah and for Potts regularization of manifold-valued signals and images. For the univariate problems, we derive solvers based on dynamic programming combined with (convex) optimization techniques for manifold-valued data. For the class of Cartan-Hadamard manifolds (which includes the data space in diffusion tensor imaging), we show that our algorithms compute global minimizers for any starting point. For the multivariate Mumford-Shah and Potts problems (for image regularization) we propose a splitting into suitable subproblems which we can solve exactly using the techniques developed for the corresponding univariate problems. Our method does not require any a priori restrictions on the edge set and we do not have to discretize the data space. We apply our method to diffusion tensor imaging (DTI) as well as Q-ball imaging. Using the DTI model, we obtain a segmentation of the corpus callosum.

研究の動機と目的

• 非滑らかで非凸な多様体値データに対するムーフォード＝シャハおよびポットス正則化の計算的課題に対処すること。
• Cartan-Hadamard多様体上での一変量問題に対する効率的なソルバーを構築し、初期値に依存せずにグローバル最適性を保証すること。
• 一変量ソルバーを座標方向への正確な部分問題分割により多次元画像正則化に拡張すること。
• エッジ集合やデータ空間の離散化に関する事前制約なしに、DTIやQボール画像法などの医療画像モalityにおけるセグメンテーションとノイズ除去を可能にすること。

提案手法

• 一変量のムーフォード＝シャハおよびポットス問題を多様体値データに対して解くために、動的計画法と凸最適化技術を組み合わせる。
• Cartan-Hadamard多様体の幾何的構造を活用し、一変量問題のグローバル最小値を保証する。
• 多次元画像正則化を座標方向に一様に一次元部分問題に分割し、各部分問題を一変量ソルバーで正確に解く。
• 反復的に変数を更新するための交互最小化スキーム（分割アルゴリズム）を適用し、Cartan-Hadamard多様体上での収束を理論的に証明する。
• 対称正定値行列や方向分布関数などの非ユークリッド空間上のデータを扱うために、リーマン平均と測地線距離を用いる。
• Potts汎関数に対して勾配（または部分勾配）降下ステップを用い、p=2の場合はリーマン平均、p=1の場合は中央値が最小値をとることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的かつ非滑らかな性質を有する多様体値信号におけるムーフォード＝シャハおよびポットス汎関数に対して、グローバル最小値を初期値に依存せずに効率的に計算可能か？
• RQ2 提案されたアルゴリズムは、初期値に依存せず、Cartan-Hadamard多様体上の一変量問題においてグローバル最適性を保証するか？
• RQ3 一変量ソルバーを近似を導入せずに、データ空間の離散化なしに多次元画像正則化に拡張可能か？
• RQ4 本手法は、エッジ集合に事前仮定を必要とせず、DTIおよびQボール画像法の応用において正確なセグメンテーションとノイズ除去を達成可能か？
• RQ5 リーマン多様体上での多次元設定において、交互最小化スキームに対してどのような収束保証を確立できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、初期値に依存せず、Cartan-Hadamard多様体上の一変量ムーフォード＝シャハおよびポットス問題のグローバル最小値を計算可能である。
• 多次元画像正則化スキームは、静的点に収束するが、Cartan-Hadamard多様体上での収束が理論的に証明されている。
• データ空間のエッジ集合の離散化を必要とせず、ノイズ除去と同時に鋭いエッジを保持することで、DTIデータにおけるcorpus callosumのセグメンテーションが可能である。
• 許容可能な分割に制限された場合、一般の完備リーマン多様体上でのPotts汎関数に対してグローバル最適性が達成される。
• 対称正定値行列や球面上の多様体に自然に存在する非ユークリッド空間上の医療画像問題（DTIやQボール画像法など）に本手法は実用的である。
• エネルギー項の一様有界性と逆三角不等式の議論を用いて、交互最小化アルゴリズムの収束が確立され、反復列が共通の極限値に収束することが保証される。