[論文レビュー] Mutation via Hovey twin cotorsion pairs and model structures in extriangulated categories

Hiroyuki Nakaoka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、exact および triangulated 圈圏を統一的に一般化する枠組みとして、extriangulated 圈圏を導入する。これにより、Hovey twin cotorsion pairs と適切なモデル構造の間の全単射対応が可能となり、局所化とイデアル商の関係が triangulated homotopy 圈圏を通じて明らかになる。これにより、exact および triangulated の両設定において、cotorsion pairs の変異と削減を体系的に行う手法が得られる。

ABSTRACT

We give a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories, which is suitable for considering cotorsion pairs, and which we call extriangulated categories. Extension-closed, full subcategories of triangulated categories are examples of extriangulated categories. We give a bijective correspondence between some pairs of cotorsion pairs which we call Hovey twin cotorsion pairs, and admissible model structures. As a consequence, these model structures relate certain localizations with certain ideal quotients, via the homotopy category which can be given a triangulated structure. This gives a natural framework to formulate reduction and mutation of cotorsion pairs, applicable to both exact categories and triangulated categories. These results can be thought of as arguments towards the view that extriangulated categories are a convenient setup for writing down proofs which apply to both exact categories and (extension-closed subcategories of) triangulated categories. This is a joint work with Yann Palu.

研究の動機と目的

• 新しい圏的枠組みを導入することで、exact および triangulated 圈圏における cotorsion pairs の取り扱いを統一すること。
• exact および triangulated 圈圏の性質を捉える一般化として、extriangulated 圈圏を定義すること。
• extriangulated 圈圏における Hovey twin cotorsion pairs と適切なモデル構造の間の全単射対応を確立すること。
• この対応が、triangulated homotopy 圈圏を通じて局所化とイデアル商の関係をどのように結びつけるかを示すこと。
• exact および triangulated 圈圏の両方に対して適用可能な、cotorsion pairs の変異と削減の体系的メソッドを提供すること。

提案手法

• n-exact 構造を用いて、exact および triangulated 圈圏の共通の一般化として extriangulated 圈圏を導入すること。
• 特定の整合性および完全性条件を満たす cotorsion pairs のペアとして Hovey twin cotorsion pairs を定義すること。
• extriangulated 圈圏における Hovey twin cotorsion pairs と適切なモデル構造の間の全単射対応を確立すること。
• 適切なモデル構造のホモトピー圏を構成し、それが三角圏構造を引き継ぐことを示すこと。
• 対応を用いて、extriangulated 圈圏の局所化が、triangulated homotopy 圈圏を通じてイデアル商と関係づけられることを示すこと。
• triangulated 圈圏の拡張閉部分圏に対してこの枠組みを適用し、古典的設定への適用可能性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 exact および triangulated 圈圏における cotorsion pairs は、どのような単一の圏的枠組みの下で体系的に統一できるか？
• RQ2 extriangulated 圈圏における Hovey twin cotorsion pairs と適切なモデル構造の間の全単射対応を保証する条件は何か？
• RQ3 extriangulated 圈圏の局所化とイデアル商の関係は、ホモトピー圏を通じてどのように関係づけられるか？
• RQ4 extriangulated 圈圏における適切なモデル構造のホモトピー圏は、どのような方法で三角圏構造を引き継ぐか？
• RQ5 この枠組みを用いることで、exact または triangulated 圈圏を超えた範囲へ、cotorsion pairs の変異と削減を一般化できるか？

主な発見

• extriangulated 圈圏は、exact および triangulated 圈圏を自然に一般化するものであり、cotorsion pairs の共有された取り扱いを可能にする。
• extriangulated 圈圏における Hovey twin cotorsion pairs と適切なモデル構造の間には、全単射対応が存在する。
• extriangulated 圈圏における適切なモデル構造のホモトピー圏は、三角圏構造を備える。
• この対応により、extriangulated 圈圏における局所化とイデアル商の体系的関係が可能になる。
• この枠組みは、exact および triangulated 圈圏の両方において、共通のメカニズムを通じて cotorsion pairs の変異と削減を支援する。
• triangulated 圈圏の拡張閉部分圏は自然に extriangulated であるため、この枠組みの古典的設定への適用可能性が裏付けられる。