[論文レビュー] Mutiscale Mapper: A Framework for Topological Summarization of Data and Maps

Tamal K. Dey, Facundo Mémoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 20被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、余域のネストされた被覆を通じて単体複体の塔を構築することにより、データ写像の階層的でスケール連続な要約を生成する位相的フレームワーク、Multiscale Mapper を導入する。この構成の安定性を証明し、区分線形関数に対しては正確に、一般の写像に対しては近似的に持久図を計算する効率的なアルゴリズムを提供する。また、プルバック擬距離を介して出力とČech複体を結びつける。

ABSTRACT

Summarizing topological information from datasets and maps defined on them is a central theme in topological data analysis. extsf{Mapper}, a tool for such summarization, takes as input both a possibly high dimensional dataset and a map defined on the data, and produces a summary of the data by using a cover of the codomain of the map. This cover, via a pullback operation to the domain, produces a simplicial complex connecting the data points. The resulting view of the data through a cover of the codomain offers flexibility in analyzing the data. However, it offers only a view at a fixed scale at which the cover is constructed. Inspired by the concept, we explore a notion of a tower of covers which induces a tower of simplicial complexes connected by simplicial maps, which we call {\em multiscale mapper}. We study the resulting structure, its stability, and design practical algorithms to compute its associated persistence diagrams efficiently. Specifically, when the domain is a simplicial complex and the map is a real-valued piecewise-linear function, the algorithm can compute the exact persistence diagram only from the 1-skeleton of the input complex. For general maps, we present a combinatorial version of the algorithm that acts only on \emph{vertex sets} connected by the 1-skeleton graph, and this algorithm approximates the exact persistence diagram thanks to a stability result that we show to hold. We also relate the multiscale mapper with the Čech complexes arising from a natural pullback pseudometric defined on the input domain.

研究の動機と目的

• 標準的なMapperが単一スケールの位相的要約しか提供しないという限界を克服するため、マルチスケール拡張を導入すること。
• スケールにわたって変化する被覆の塔と関連する単体複体の塔を形式化し、持続的位相的解析を可能にする。
• 被覆および写像の摂動に対して、マルチスケールMapper構成の理論的安定性を確立すること。
• 区分線形関数および一般の写像に対して、正確におよび近似的に持久図を計算するための効率的アルゴリズムを設計すること。
• プルバック擬距離を介してマルチスケールMapperとČech複体を関連させ、理論的および計算的つながりを可能にすること。

提案手法

• 余域空間 Z のスケール ε でインデックス付けされた被覆の塔 {U_ε} を構築し、ネストされた被覆の系列を形成する。
• 写像 f:X→Z を通じたこれらの被覆のプルバックを用いて、単体複体の系列 M(ε) を生成し、マルチスケールMapperを構成する。
• 単体写像で接続された単体複体の塔を定義し、スケールにわたって持久図を計算する。
• 単体複体上の実数値区分線形関数に対しては、入力複体の1次スケルトンのみを用いて正確な持久図を計算する。
• 一般の写像に対しては、頂点集合および1次スケルトン上で動作する、アルゴリズムの組合せ的バージョンを導入し、安定性結果を介して正確図の近似を実現する。
• ドメイン X 上にプルバック擬距離 d_{U,f} を定義し、マルチスケールMapperとČechフィルトレーションを結びつけ、安定性およびインターリーブの議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一スケールのMapper構成を、連続的でスケール連続な位相的要約を生成するように一般化する方法は何か？
• RQ2 このようなマルチスケールフレームワークに対して、特に安定性といった理論的保証は得られるか？
• RQ3 特に区分線形関数および一般の写像に対して、マルチスケールMapperの持久図を計算するための効率的アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 マルチスケールMapperは、古典的な構成（例：Reebグラフ や Čech複体）とどのように関係するか？
• RQ5 被覆スケール ε→0 の極限において、マルチスケールMapperが収束する位相的対象は何か？

主な発見

• マルチスケールMapperフレームワークは、単体写像で接続された単体複体の塔を通じて、安定的でスケール連続なデータ写像の位相的要約を生成する。
• 単体複体上の実数値区分線形関数に対しては、入力複体の1次スケルトンのみを用いて正確な持久図を計算できる。
• 一般の写像に対しては、組合せ的アルゴリズムが正確な持久図を近似し、近似誤差は安定性結果により有界である。
• マルチスケールMapperは、プルバック擬距離 d_{U,f} から構築されたČech複体とインターリーブされ、古典的持続的ホモロジーへの理論的つながりを確立する。
• 被覆および写像 f の摂動に対して、フレームワークは安定であり、被覆および関数の両方の摂動に対して、インターリーブに基づく安定性が証明されている。
• 被覆スケール ε→0 の極限において、構成はReeb空間に収束する。これは、Mapperの連続的一般化であると示唆する。