[論文レビュー] Muttalib--Borodin ensembles in random matrix theory --- realisations and correlation functions

Peter J. Forrester, Dong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 39被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、一般の正のパラメータ θ を持つラゲルルおよびヤコビ版の Muttalib–Borodin エンsembles を、確率的行列理論において包括的に分析する。ガウス型および三角行列を用いた新しい実現が確立され、相関関数の正確な二重輪郭積分公式が導出され、両エンドスが Wright のベッセル関数を介して同じハードエッジスケーリング相関核を示すことが証明され、有限サイズの普遍的挙動が統一される。

ABSTRACT

Muttalib--Borodin ensembles are characterised by the pair interaction term in the eigenvalue probability density function being of the form $\prod_{1 \le j < k \le N}(λ_k - λ_j) (λ_k^θ- λ_j^θ)$. We study the Laguerre and Jacobi versions of this model --- so named by the form of the one-body interaction terms --- and show that for $θ\in \mathbb Z^+$ they can be realised as the eigenvalue PDF of certain random matrices with Gaussian entries. For general $θ> 0$, realisations in terms of the eigenvalue PDF of ensembles involving triangular matrices are given. In the Laguerre case this is a recent result due to Cheliotis, although our derivation is different. We make use of a generalisation of a double contour integral formula for the correlation functions contained in a paper by Adler, van Moerbeke and Wang to analyse the global density (which we also analyse by studying characteristic polynomials), and the hard edge scaled correlation functions. For the global density functional equations for the corresponding resolvents are obtained; solving this gives the moments in terms of Fuss--Catalan numbers (Laguerre case --- a known result) and particular binomial coefficients (Jacobi case). For $θ\in \mathbb Z^+$ the Laguerre and Jacobi cases are closely related to the squared singular values for products of $θ$ standard Gaussian random matrices, and truncations of unitary matrices, respectively. At the hard edge the double contour integral formulas provide a double contour integral form of the scaled correlation kernel obtained by Borodin in terms of Wright's Bessel function.

研究の動機と目的

• 一般の θ > 0 に対する Muttalib–Borodin エンセムブルの新しい行列的実現を確立し、整数 θ の既知の結果を拡張する。
• ラゲルルおよびヤコビ Muttalib–Borodin エンセムブルの相関関数の正確な二重輪郭積分表現を導出する。
• 関数方程式とラグランジュ逆行列を用いてグローバル密度およびリゾルベントを分析し、Fuss–Catalan 数および二項係数を用いたモーメントを導出する。
• ラゲルルおよびヤコビエンセムブルのハードエッジスケーリング相関核が同一であり、Wright のベッセル関数を介して表現されることを証明する。
• Adler–van Moerbeke–Wang の二重輪郭積分公式の一般化を通じて、これらのエンセムブルの有限サイズおよび漸近的挙動を統一する。

提案手法

• Adler, van Moerbeke, Wang の結果を非整数 θ に拡張することで、相関関数の一般化された二重輪郭積分公式を導出する。
• 局所的密度の分析のため、1点関数に鞍点近似を適用し、リゾルベントに基づく手法を補完する。
• 非線形関数方程式のリゾルベントに対してラグランジュ逆行列公式を適用し、モーメントの明示的表現を導出する。
• 一般の θ > 0 に対して上三角ランダム行列を用いた行列的実現を確立し、Cheliotis の最近の結果を一般化する。
• 二重積分カーネルに対して輪郭変形および漸近的解析を実施し、ハードエッジスケーリング極限を導出する。
• スペクトル変数の三角関数的パrametrization を用いて、ヤコビ系におけるグローバル密度の明示的関数形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の θ > 0 に対して、Muttalib–Borodin エンセムブルはどのようにランダム行列エンセムブルの固有値確率密度関数として実現可能か？
• RQ2 ラゲルルおよびヤコビ Muttalib–Borodin エンセムブルの相関核の正確な形は、二重輪郭積分の形でどのように表現されるか？
• RQ3 ラゲルルおよびヤコビ Muttalib–Borodin エンセムブルは、同じハードエッジスケーリング相関核を持つのか？
• RQ4 グローバル密度のモーメントは、Fuss–Catalan 数や二項係数といった組合せ的数とどのように関係しているか？
• RQ5 ヤコビ系におけるグローバル密度の関数形は何か？また、スペクトルパラメータとどのように関係しているか？

主な発見

• 整数 θ および c に対して、ラゲルル Muttalib–Borodin エンセムブルは、θ 個の複素 Wishart 行列の積の固有値確率密度関数として実現される。
• ラゲルル系におけるグローバル密度のモーメントは Fuss–Catalan 数で与えられ、既知の結果を新たな導出により確認する。
• ヤコビ系においては、ラグランジュ逆行列公式を用いて、グローバル密度のモーメントが特定の二項係数で表現される。
• ラゲルルおよびヤコビエンセムブルのハードエッジスケーリング相関核は、形が同一であり、Borodin が Wright のベッセル関数を用いて導出したカーネルと一致する。
• 相関核の二重輪郭積分公式は実数 θ > 0 に一般化可能であり、両エンセムブルのハードエッジ極限の導出を可能にする。
• ヤコビ系におけるグローバル密度は、スペクトル変数の三角関数的パラメータ化により、明示的な関数形を有する。