[論文レビュー] Mutually unbiased measurements with arbitrary purity

Mahdi Salehi, Seyed Javad Akhtarshenas+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、d次元量子系における任意の純度を持つ相互に unbiased な測定（MUMs）の新規クラスを導入し、ランク1射影子に制限されない相互に unbiased 基底（MUBs）を一般化する。トレースがゼロのエルミート演算子と調整可能なパラメータを用いてMUMsを構成することで、2つのMUMsのみで双粒子純粋状態における量子もつれを検出可能であり、補完的測定の期待値がもつれモノトーンに比例することが示された。

ABSTRACT

Mutually unbiased measurements are a generalization of mutually unbiased bases in which the measurement operators need not to be rank one projectors. In a $d$-dimension space, the purity of measurement elements ranges from $1/d$ for the measurement operators corresponding to maximally mixed states to $1$ for the rank one projectors. In this contribution, we provide a class of MUM that encompasses the full range of purity. Similar to the MUB in which the operators corresponding to different outcomes of the same measurement commute mutually, our class of MUM possesses this sense of compatibility within each measurement. This makes the provided class more similar to the MUB, so that the main difference between them and MUB is due to the purity of the measurement operators. The spectra of these MUMs provides a way to construct a class of $d$-dimensional orthogonal matrices which leave the vector of equal components invariant. Based on this property, and by using the MUM-based entanglement witnesses, we investigate the role of purity to detect entanglement of bipartite states.

研究の動機と目的

• 相互に unbiased 基底（MUBs）をランク1射影子に制限されない任意の純度の測定へ一般化すること。
• 純度が1/d（最大混合状態）から1（射影子）までの全範囲をカバーする相互に unbiased 測定（MUMs）のクラスを構築すること。
• これらのMUMsの固有値スペクトルと一様なベクトルを保存する直交行列との関係を確立すること。
• MUMに基づくもつれ見なしを用いて、双粒子状態におけるもつれ検出に必要な最小測定数を同定すること。
• 一般の双粒子純粋状態において、2つのMUMsで十分にもつれを検出可能であり、その負の平均値がもつれモノトーンに関連することを示すこと。

提案手法

• トレースがゼロのエルミート演算子 $ F^{(b)}_n $ とパラメータ $ t $ を用いて、$ P^{(b)}_n = \frac{1}{d}\mathbb{1} + t F^{(b)}_n $ の形でMUMsを構成する。
• $ P^{(b)}_n $ の正定値性を、$ F^{(b)}_n $ の極値固有値から導かれる $ t $ の範囲に制限することで保証し、純度パラメータとして $ \kappa = \text{Tr}[P^{(b)}_n]^2 $ を用いる。
• トレース条件 $ \text{Tr}[P^{(b)}_n P^{(b')}_{n'}] = \frac{1}{d} + \delta_{b,b'}\left(\delta_{n,n'} - \frac{1}{d}\right)\frac{\kappa - \frac{1}{d}}{\frac{1}{d} - 1} $ を用いて、相互に unbiased であるための条件を導出する。
• MUMsの固有値スペクトルの性質を用いて、一様なベクトルを不変に保つ直交行列を構成し、組合せデザインと関連付ける。
• MUMに基づくもつれ見なしを双粒子状態に適用し、最初のMUMはすべての純粋状態で期待値がゼロとなるが、補完的MUMはもつれ状態で負の期待値を示すことを示す。
• この負の期待値の大きさがもつれモノトーンに比例することを示し、それが検出可能なもつれ見なしとしての役割を果たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互に unbiased 測定（MUMs）は、MUBsのランク1射影子に制限されない任意の純度で構成可能か？
• RQ2 双粒子量子状態におけるもつれ検出に必要なMUMの最小数は何か？
• RQ3 補完的MUMの期待値は、純粋な双粒子状態におけるもつれ尺度とどのように関係するか？
• RQ4 MUMsのスペクトル構造を用いて、一様なベクトルを不変に保つ直交行列を生成可能か？
• RQ5 もつれ状態における第二のMUMの負の平均値は、既知のもつれモノトーンに比例するか？

主な発見

• 著者らは、純度 $ \kappa \in [1/d, 1] $ のMUMsのクラスを構築し、MUBsを任意のランクの測定へ一般化した。
• 任意のd次元系において、トレースがゼロの演算子のパラメータ族を用いて、MUMsが相互に unbiased 条件を満たすことを示した。
• 一般の双粒子純粋状態におけるもつれ検出には、2つのMUMsのみで十分である：最初のMUMはすべての純粋状態で期待値がゼロとなり、第二のMUMはもつれ状態で負の期待値を示す。
• 第二のMUMの負の期待値はもつれモノトーンに比例し、それが検出可能なもつれ見なしとしての役割を果たすことが確認された。
• MUMsの固有値スペクトルから得られる行列は、等成分ベクトルを不変に保つ直交行列を生成し、対称デザインと関連する。
• 構成法により、完全ランク状態（例：等方的状態）ではMUMの完全集合が必要となるが、低ランク混合状態ではより少ない数で十分であることが示された。