[論文レビュー] mVEM: A MATLAB Software Package for the Virtual Element Methods

Yue Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、2次元および3次元の多角形および多面体メッシュに対して仮想有限要素法（VEM）を実装する、フリーでオープンソースのMATLABソフトウェアパッケージmVEMを提示する。このパッケージは、楕円型問題（Darcy方程式およびPoisson方程式を含む）を、混合および適合VEMの定式化により、効率的で透明性が高く再利用可能なコードで解くことを可能にし、三角形メッシュ、構造的四角形／多面体メッシュ、および重心Voronoiタイル分割（CVT）を含むさまざまなメッシュタイプで最適収束率が確認されている。

ABSTRACT

This paper summarizes the development of mVEM, a MATLAB software package containing efficient and easy-following codes for various virtual element methods (VEMs) published in the literature. We explain in detail the numerical implementation of the mixed VEMs for the Darcy problem and the three-dimensional linear VEMs for the Poisson equation. For other model problems, we present the construction of the discrete methods and only provide the implementation of the elliptic projection matrices. Some mesh related functions are also given in the package, including the mesh generation and refinement in two or three dimensions. mVEM is free and open source software.

研究の動機と目的

• 複雑な幾何形状および一般の多角形／多面体メッシュに適用可能な、包括的で再利用可能でわかりやすいMATLABソフトウェアパッケージを構築すること。
• 3次元において、Darcy問題のための混合VEMおよびPoisson方程式のための線形VEMの詳細な数値実装を提供すること。これらは、従来、利用可能ではなかった。
• 2次元および3次元におけるメッシュ生成およびメッシュの細分化をサポートすること。これには、Delaunay三角形分割からの双対メッシュ構築およびCVTなどの特殊メッシュタイプが含まれる。
• 反応拡散、線形弾性、薄板曲げ、ストークス流れ、および変分不等式を含む、さまざまなPDEに適したVEM定式化の実装を可能にすること。
• 今後の拡張の基盤とすることとして、時間依存問題、適応的メソッド、非線形力学、およびCahn-HilliardおよびNavier-Stokes系を含むマルチフィジックス問題への対応を提供すること。

提案手法

• 本パッケージは、部分積分に基づく変分定式化を用いて仮想有限要素法を実装しており、弱形式は各要素ごとに計算可能な射影を用いて構築される。
• 各要素に対して、$L^2$射影および楕円型射影を用いて、形状関数の明示的知識が不要な非多項式項を処理する局所剛性行列を計算する。
• 頂点リスト、要素接続性、およびディリクレおよびノイマン境界条件のための境界マーカーを含む、多角形および多面体メッシュを表現するデータ構造を用いている。
• メッシュ生成は、修正されたPolyMesherアルゴリズムおよびDelaunayに基づく双対メッシュ生成を用い、構造的メッシュおよび重心Voronoiタイル分割（CVT）メッシュを生成可能である。
• 明確さと拡張性を高めるために、特に3次元問題においては要素単位のループを採用しているが、パフォーマンス向上のためにはベクトル化が提案されている。
• $H^1$および$L^2$ノルムにおける誤差計算、収束率解析、および解およびメッシュの可視化を実行する関数を含んでいる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多角形および多面体メッシュ上で2次元および3次元問題に適用可能な、透明性が高く再利用可能なMATLABによる仮想有限要素法の実装をどのように設計できるか？
• RQ2 非構造的多面体メッシュ上での3次元Poisson方程式に対する線形VEMの最適収束挙動は何か？
• RQ3 メッシュが三角形から構成される場合、VEM実装の性能は古典的有限要素法と比べてどうか？
• RQ4 VEM定式化は、最小限のコード複雑性で混合定式化（例：Darcy問題）および高次元問題に拡張可能か？
• RQ5 VEM実装における計算ボトルネックは何か？そして、コード設計および可能なベクトル化によってどのように緩和できるか？

主な発見

• mVEMパッケージは、一般の多面体メッシュ上でDarcy問題の混合VEMおよび3次元Poisson方程式の線形VEMを明確で文書化されたコードで実装に成功している。
• 四面体メッシュ、構造的四角形メッシュ、およびCVTメッシュ上でのPoisson問題において、$L^2$ノルムで2次、$H^1$ノルムで1次という最適収束率が達成された。
• 粗いメッシュ上では、$L^2$誤差の収束率が最適でない（2に近くない）ことが観察されたが、これは標準的な線形有限要素でも知られている問題であり、より細かいメッシュでは最適収束率が回復した。
• 三角形メッシュ上では、線形VEMは標準的な線形有限要素法に帰着し、定式化の一貫性が確認された。
• 現在の実装では明確さを高めるために要素単位のループが採用されているが、大規模な3次元問題ではベクトル化によってパフォーマンスを向上させられる。
• 本パッケージは拡張可能であり、今後の時間依存問題、適応的VEM、非線形固体力学への応用の基盤を提供している。