[論文レビュー] N=1 Duality and the Superconformal Index

David Kutasov, Jennifer Lin|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、${\cal N}=1$ 超共形指数を用いて、強い結合の$\mathcal{N}=1$ 超共形場理論（SCFT）におけるチャイral演算子の量子的制約を研究する。特に$D_k$および$E_7$理論において、弱い結合のUV理論で指数を計算し、それらをIRのSCFTに一致させることで、$D_k$理論における$Y^3 = 0$のような量子的制約が、${\cal R}=2$の演算子（ゲージノおよび微分項を含む）の間で起こるキャンセレーションにより、指数に直接現れないことを示している。

ABSTRACT

We use the N = 1 superconformal index to study certain quantum constraints on chiral operators in a class of non-trivial SCFT's.

研究の動機と目的

• チャイral演算子の量子的制約の起源を、$D_k$および$E_7$理論において、既知ではあるが十分に理解されていない$\mathcal{N}=1$ SCFTにおいて理解すること。
• 超共形指数が、IR固定点における短い多重項のスペクトルを分析することによって、これらの量子的制約を検出できるかどうかを調査すること。
• 指数がチャイral環に存在するにもかかわらず、$Y^3 = 0$のような量子的制約の存在を直接示さない理由を明確にすること。
• ゲージノおよび微分演算子が${\cal R}=2$で指数に果たす役割を検討し、それらがキャンセレーションを通じて量子的制約の検出を妨げる仕組みを明らかにすること。

提案手法

• $R$-対称性が保存される弱い結合のUV理論で超共形指数を計算し、$\mathcal{R}$-chargeおよび$SU(2)$スピンオーダーの化学ポテンシャルを用いる。
• $\mathcal{I}(t,x) = \mathrm{Tr}(-1)^F x^{2J_3} t^{\mathcal{R}} e^{-\beta \mathcal{H}}$という指数生成関数を用いて短い多重項を数え、$\mathcal{R} = R + 2\overline{J}_3 + \mathcal{H}$とする。
• チャイral環の演算子を特定するため、$SU(2)$が$\overline{Q}_+$に作用する下での$\mathcal{R}$-chargeに対応する$t$のべき乗に注目し、$x^0$（$SU(2)$の単位表現）の項を抽出する。
• ${\cal R}=2$の演算子、例えば$\widetilde{Q}\lambda^2 Q$、$\widetilde{Q}Q\mathrm{Tr}\lambda^2$、$\partial_{-+}\widetilde{Q}\lambda_- Q$を特定し、それぞれ$\mathcal{R}$-chargeが1であり、結合して${\cal R}=2$の単位表現を形成できることを示す。
• $D_k$系列のレベル$n=k$において、フェルミオン状態$\widetilde{Q}\overline{\psi}_X Q$が$\widetilde{Q}X^k Q$演算子とキャンセルすることで、$t^{2k/(k+1)}$の係数が1つ減少することを分析する。
• $D_k$および$E_7$理論における指数構造を、既知の量子的制約と比較し、${\cal R}=2$での競合する寄与のため、指数が$Y^3=0$の制約を直接反映しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超共形指数は、$D_k$および$E_7$の$\mathcal{N}=1$ SCFTにおいて、$Y^3 = 0$のような量子的制約を検出できるか？
• RQ2 チャイral環に存在するにもかかわらず、指数がその制約の存在を示さないのはなぜか？
• RQ3 ゲージノおよび微分演算子は、${\cal R}=2$で指数にどのような役割を果たし、量子的制約の検出にどのように影響するか？
• RQ4 $D_k$系列の臨界レベル$n=k$における指数の変化は何か？これはチャイral環構造にどのような含意を持つか？
• RQ5 $E_7$および$D_k$理論（$k$が偶数の場合）における量子的制約は、超共形指数に現れるか、それともキャンセレーションによって隠蔽されているか？

主な発見

• 超共形指数は、$D_k$理論における量子的制約$Y^3 = 0$を直接示さない。これは、制約の${\cal R}$-chargeが$3k/(k+1) \geq 2$であり、${\cal R}=2$の演算子が早期に出現し、キャンセレーションを引き起こすためである。
• $D_k$系列のレベル$n=k$において、指数における$t^{2k/(k+1)}$の係数は、予想される数より1つ減少しており、これは$\widetilde{Q}X^k Q$と$\widetilde{Q}\overline{\psi}_X Q$が長多重項を形成していることを示している。
• $\widetilde{Q}\overline{\psi}_X Q$演算子は、${\cal R}$-chargeが$2k/(k+1}$で、$(-1)^F$の符号が反対であるため、$n=k$において$\widetilde{Q}X^k Q$とキャンセルされ、$\widetilde{Q}X^k Q$がチャイral環に存在しないことと整合的である。
• ${\cal R}=2$では、$\widetilde{Q}\lambda^2 Q$、$\widetilde{Q}Q\mathrm{Tr}\lambda^2$、$\partial_{-+}\widetilde{Q}\lambda_- Q$など、$\mathcal{R}$-chargeが1の多数の$SU(2)$単位表現の演算子が出現し、それらの組み合わせが量子的制約の指数的シグネチャーを曇らせる。
• $E_7$の量子的制約の${\cal R}$-chargeは$30/9 > 2$であり、$D_k$の制約と同様の領域に位置し、同じクラスの${\cal R}=2$キャンセレーションによって隠蔽されている。
• 指数が制約を検出できないのは、指数自体の欠険によるのではなく、フェルミオンおよびボソン状態を含む多数の${\cal R}=2$の演算子が互いにキャンセルし、制約の存在を隠蔽するためである。