[論文レビュー] N=1 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebras over Grassmann algebras and with odd formal variables

Katrina Barron|ArXiv.org|Oct 2, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、奇数の形式的変数を伴う・なしの両方のグレイスマン代数上でのN=1ネヴェウ＝シュヴァルツ頂点演算子超代数を導入し、両カテゴリが同型であることを証明する。弱超交換性および弱結合性が他の公理のもとでヤコビ恒等式と同値であることを確立し、同様に完全超交換性および結合性に対しても同様の同値性を示し、N=1超共形場理論の明示的な超解析的相関関数を含む、厳密な代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

The notions of N=1 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra over a Grassmann algebra and with odd formal variables and of N=1 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra over a Grassmann algebra and without odd formal variables are introduced, and we show that the respective categories of such objects are isomorphic. The weak supercommutativity and weak associativity properties for an N=1 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra with odd formal variables are established, and we show that in the presence of the other axioms, weak supercommutativity and weak associativity are equivalent to the Jacobi identity. In addition, we prove the supercommutativity and associativity properties for an N=1 Neveu-Schwarz vertex operator superalgebra with odd formal variables and show that in the presence of the other axioms, supercommutativity and associativity are equivalent to the Jacobi identity.

研究の動機と目的

• N=1ネヴェウ＝シュヴァルツ頂点演算子超代数を、奇数の形式的変数を含むグレイスマン代数上で形式化し、超共形場理論の代数的設定を拡張すること。
• 奇数の形式的変数を含むようなVOAのカテゴリと、それらを含まないカテゴリが同型であることを示し、定式化の等価性を確立すること。
• 他の公理のもとでヤコビ恒等式が、積および反復の有理関数性、および超交換性・結合性と同値であることを証明すること。
• グレイスマン代数と奇数変数を用いて超幾何学的構造を組み込むことで、滑らかで genus-zero の N=1 超共形場理論の自然な代数的枠組みを提供すること。
• 代数的構造と幾何的超微分作用素 G(-1/2) との関係を確立し、G(-1/2) 作用素が超微分作用素 D = ∂/∂θ + θ∂/∂z に対応することを保証すること。

提案手法

• 偶数および奇数の形式的変数を含むグレイスマン代数上でのN=1ネヴェウ＝シュヴァルツ頂点演算子超代数の新しい定義を導入する。
• G(-1/2)-微分性を基本公理として定義し、代数的作用素 G(-1/2) を超微分作用素 D と関連付ける。
• ヤコビ恒等式を中心的公理として用い、それが反復および積の有理関数性、および超交換性・結合性と同値であることを示す。
• 置換則およびデルタ関数の恒等式を用いて、ヤコビ恒等式と他の構造的性質との同値性を導出する。
• 写像 ι_{ij} を用いて、異なる形式的べき級数展開を関連付け、適切な領域における収束性および有理関数性を保証する。
• 相関関数が1つの偶数変数および1つの奇数変数における超解析的関数であることが示され、頂点演算子構造を介して明示的に実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=1ネヴェウ＝シュヴァルツ頂点演算子超代数を、N=1超共形場理論の超幾何学的構造を反映させるように、グレイスマン代数上で自然に定義するにはどうすればよいか？
• RQ2 奇数の形式的変数を含むVOAの定式化と含まない定式化との関係は何か？ それらに対応するカテゴリは同型であるか？
• RQ3 他の公理が満たされているとき、弱超交換性および弱結合性はヤコビ恒等式と同値であるか？
• RQ4 この設定において、超交換性および結合性はヤコビ恒等式を含意するか？ また、ヤコビ恒等式はこれらの性質によって置き換え可能か？
• RQ5 代数的構造は幾何的超微分作用素 D = ∂/∂θ + θ∂/∂z および L(-1)-微分性とどのように関係しているか？

主な発見

• 奇数の形式的変数を含むグレイスマン代数上でのN=1ネヴェウ＝シュヴァルツ頂点演算子超代数のカテゴリは、それらを含まないカテゴリと同型であり、両定式化の等価性が証明された。
• 他の公理のもとで弱超交換性および弱結合性がヤコビ恒等式と同値であることが示され、これらの性質がヤコビ恒等式の代わりに定義に用いることができる。
• 他の公理が成立する中で、超交換性および結合性がヤコビ恒等式と同値であることが確認され、これらが完全なヤコビ恒等式を含意する十分条件であることが裏付けられた。
• 写像 ι_{20} および ι_{02} を用いて積および反復の有理関数性が確立され、相関関数が関連する変数における有理的超関数であることが示された。
• G(-1/2)-微分性が L(-1)-微分性を含意することが示され、代数的構造が幾何的超微分作用素 D と関連づけられた。
• genus-zero で滑らかな N=1 超共形場理論における相関関数が、奇数変数を含む頂点演算子構造を介して、明示的に超解析的関数として実現された。