[論文レビュー] N=2 Hamiltonians with sl(2) coalgebra symmetry and their integrable deformations

Ángel Ballesteros, O. Ragnisco|ArXiv.org|Oct 18, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的およびq変形sl(2)ポアソンコペアの位相空間実現を用いて、sl(2)コペア代数対称性を持つ2次元古典的可積分ハミルトニアンを構成する。この対称性が、一般化されたモース、調和振動子、遠心力ポテンシャルを回復する一貫した可積分変形の導出を可能にすることを示し、非コassociativeなコプロダクトを用いたジョルダン＝シュヴァンガー実現によって、N=2カラゲロ系とゴーディンハミルトニアンがsl(2)対称性を持つことを示している。

ABSTRACT

Two dimensional classical integrable systems and different integrable deformations for them are derived from phase space realizations of classical $sl(2)$ Poisson coalgebras and their $q-$deformed analogues. Generalizations of Morse, oscillator and centrifugal potentials are obtained. The N=2 Calogero system is shown to be $sl(2)$ coalgebra invariant and the well-known Jordan-Schwinger realization can be also derived from a (non-coassociative) coproduct on $sl(2)$. The Gaudin Hamiltonian associated to such Jordan-Schwinger construction is presented. Through these examples, it can be clearly appreciated how the coalgebra symmetry of a hamiltonian system allows a straightforward construction of different integrable deformations for it.

研究の動機と目的

• 位相空間におけるsl(2)コペア代数的対称性を用いた可積分ハミルトニアンを体系的に構成するフレームワークを確立すること。
• 古典的およびq変形sl(2)ポアソンコペアが新たな可積分系およびその変形をどのように生成するかを調査すること。
• コペア代数的対称性が既知の系に対して可積分変形を容易に構成できることを示すこと。
• N=2カラゲロ系およびその関連するゴーディンハミルトニアンが、sl(2)上の非コassociativeなコプロダクトから生じることを示すこと。
• 標準的ポテンシャル（モース、調和振動子、遠心力）をコペア代数的実現によって一般化すること。

提案手法

• 位相空間における古典的およびq変形sl(2)ポアソンコペアの実現を用いてハミルトニアンを生成すること。
• 非コassociativeなコプロダクトを用いたジョルダン＝シュヴァンガー構成を用いてN=2カラゲロ系を導出すること。
• コペア代数的コプロダクト構造を用いて、可積分系の体系的変形を実行すること。
• 一般化されたポテンシャル（モース、調和振動子、遠心力）をコペア代数的対称性の実現として導出すること。
• 同じジョルダン＝シュヴァンガー実現フレームワークからゴーディンハミルトニアンを構成すること。
• コペア代数的対称性を用いて可積分性を検証し、保存量を明示的に構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sl(2)コペア代数的対称性は、2次元で新たな可積分ハミルトニアンをどのように生成できるか？
• RQ2 sl(2)ポアソンコペアのq変形は、可積分変形の構成において果たす役割は何か？
• RQ3 N=2カラゲロ系は、sl(2)上の非コassociativeなコプロダクトから導出可能か？
• RQ4 ジョルダン＝シュヴァンガー実現は、sl(2)コペア代数的対称性の文脈でゴーディンハミルトニアンとどのように関連するか？
• RQ5 位相空間におけるsl(2)コペア代数の実現からどのような一般化されたポテンシャルが出現するか？

主な発見

• N=2カラゲロ系がsl(2)コペア代数的対称性に対して不変であることが示され、この代数的構造を通じて可積分性が確認された。
• 一般化されたモース、調和振動子、遠心力ポテンシャルが、位相空間におけるsl(2)ポアソンコペアの実現として導出された。
• N=2カラゲロ系のジョルダン＝シュヴァンガー実現は、sl(2)上の非コassociativeなコプロダクトから生じており、標準的構成を拡張している。
• この実現に関連するゴーディンハミルトニアンが明示的に構成され、同じコペア代数的枠組みと関連づけられた。
• sl(2)コペア代数的対称性は、既知の系の可積分変形を生成する統一的メカニズムを提供する。
• sl(2)ポアソンコペアのq変形版は、新たな可積分変形を生み出し、この手法の強靭性を示している。