[論文レビュー] $N=2$ Superconformal Field Theories in $4$ Dimensions and A-D-E Classification

Tohru Eguchi, Kentaro Hori|ArXiv.org|Jul 16, 1996

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、質量ゼロの相互に非局所的な電荷を持つソリトンが共存するN=2超対称ゲージ理論における臨界点を分析することにより、4次元N=2超共形場理論（SCFT）のA-D-E分類を提案する。正確な解と双対磁気変数を用い、SU(N)、SO(N)、Sp(2N)、およびEₙゲージ群からのSCFTを同定した。スケーリング演算子の臨界指数が、eᵢをドリン風指数、hを双対コクセター数とする式 2(eᵢ+1)/(h+2) に従うことが示され、これはホテントリック型II双対性におけるK₃面の退化に根ざしたA-D-E分類を強く示唆する。

ABSTRACT

Making use of the exact solutions of the $N=2$ supersymmetric gauge theories we construct new classes of superconformal field theories (SCFTs) by fine-tuning the moduli parameters and bringing the theories to critical points. In the case of SCFTs constructed from pure gauge theories without matter $N=2$ critical points seem to be classified according to the A-D-E classification as in the two-dimensional SCFTs.

研究の動機と目的

• N=2超対称ゲージ理論におけるモジュライおよび質量パラメータの微調整により、4次元N=2超共形場理論（SCFT）の新しいクラスを体系的に構成すること。
• 相互に非局所的なソリトンが質量ゼロになる臨界点において、そのSCFTの臨界的挙動を調査し、共形不変性が示されるかを検討すること。
• これらのSCFTにおけるスケーリング演算子の臨界指数を特定し、異なるゲージ群にわたる普遍的パターンを同定すること。
• Calabi-Yau多様体におけるK₃面の退化を分析することにより、2次元SCFTにおけるそれと類似した4次元N=2 SCFTのA-D-E分類の可能性を探ること。
• ストリング理論的構成と周期積分を用いて、Aₙ、Dₙ、Eₙ型において、スケーリング指数の公式 2(eᵢ+1)/(h+2) が普遍的であるかを検証すること。

提案手法

• 特に強い結合領域における特異性を伴う前ポテンシャルを含む、N=2超対称ゲージ理論の正確な解を用いる。
• 双対磁気変数を適用し、強い結合領域の挙動を分析し、相互に非局所的な電荷を持つソリトンが質量ゼロになる臨界点を特定する。
• Seiberg-Witten解から導かれる楕円曲線およびスペクトル曲線を用い、モジュリ空間および判別子の集合を記述する。
• 臨界点の周囲で摂動的解析を行い、スケーリングパラメータ（例：t）を導入して、モジュライおよび結合定数のスケーリング次元を抽出する。
• K₃ファイバーを持つCalabi-Yau多様体上の正則3形式の周期積分を用い、特にEₙゲージ理論における臨界指数を計算する。
• Landau-GinzburgモデルにおけるスーパーポテンシャルW（z、ΛおよびAₙ、Dₙ、Eₙ特異点の不変量を含む）の性質を分析し、次元解析により臨界指数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元N=2超共形場理論は、N=2超対称ゲージ理論におけるモジュライおよび質量の微調整によって体系的に構成可能か？
• RQ2 相互に非局所的な質量ゼロのソリトンを伴う臨界点は共形不変性を示し、そのようなSCFTの普遍的性質は何か？
• RQ3 これらのSCFTにおけるスケーリング演算子の臨界指数は、異なるゲージ群にわたって普遍的な公式に従うか？
• RQ4 2次元SCFTと類似した4次元N=2 SCFTのA-D-E分類は存在するか？ もし存在するならば、その起源はストリング理論において何に由来するか？
• RQ5 E₆、E₇、E₈ゲージ理論における臨界指数は、AₙおよびDₙ型と比較してどう異なるか？ また、公式 2(eᵢ+1)/(h+2) に従うか？

主な発見

• モジュライおよび質量パラメータを調整することで、相互に非局所的なソリトンが質量ゼロになるようにし、共形不変性を示す臨界点を構成することにより、SCFTが得られる。
• 物質を含まないSU(N+1)、SO(2N+1)、Sp(2N)ゲージ理論では、得られるSCFTは同一であり、1つの普遍性クラスを形成し、Aₙ型と呼ぶ。
• SO(2N)ゲージ理論からのSCFTは、異なる臨界指数を示す別個の普遍性クラスを形成し、Dₙ型と呼ぶ。
• Aₙ型およびDₙ型SCFTにおけるスケーリング演算子の臨界指数は、2(eᵢ+1)/(h+2) で与えられ、ここでeᵢはドリン風指数、hは対応する代数の双対コクセター数である。
• E₆、E₇、E₈ゲージ理論に対応する臨界指数についても、公式 2(eᵢ+1)/(h+2) に従うことが判明し、それぞれh=12、20、32であることを確認し、普遍性が裏付けられた。
• 4次元N=2 SCFTのA-D-E分類は、ホテントリック型II双対性に用いられるK₃ファイバーを持つCalabi-Yau多様体におけるK₃面の退化型に起因するものと、同定される。