[論文レビュー] N=2 supersymmetric dynamics for pedestrians

Yuji Tachikawa|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 59

ひとこと要約

本稿は、4次元における$χ{=}2$超対称的ダイナミクスについて、教育的入門を提供する。Seiberg-Witten解法、Argyres-Douglas CFT、Gaiotto双対性を現代的視点からカバーする。古典的場理論、インスタントン数え上げ、6次元$χ{=}(2,0)$理論の構成を統合し、$χ{=}2$QFTにおける双対性ウェブとモジュライ空間を理解する包括的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

We give a pedagogical introduction to the dynamics of N=2 supersymmetric systems in four dimensions. The topic ranges from the Lagrangian and the Seiberg-Witten solutions of SU(2) gauge theories to Argyres-Douglas CFTs and Gaiotto dualities. This is a write-up of the author's lectures at Tohoku University, Nagoya University and Rikkyo University. Comments will be appreciated.

研究の動機と目的

• 初期の研究者および学生が、4次元における$χ{=}2$超対称的量子場理論を自己完結的かつアクセス可能な形で理解できるよう、入門を提供すること。
• 古典的場理論、Seiberg-Witten解法、Gaiotto双対性や6次元$χ{=}(2,0)$理論のコンパクト化といった現代的発展を結びつけること。
• Seiberg-Witten曲線と前もって計算された汎用的エネルギー密度（prepotential）を、$χ{=}2$ゲージ理論の低エネルギーダイナミクスを理解する中心的ツールとして提示すること。
• 特にArgyres-Douglas固定点の文脈において、双対性、モノドロミー、モジュライ空間の構造が$χ{=}2$理論に果たす役割を明確にすること。
• 場理論的構成と、特異なCalabi-Yau3次元多様体やALE空間へのtype IIBコンパクト化を含む、弦理論的実現を結びつけること。

提案手法

• 微視的および低エネルギー有効場理論の手法を用いて、$χ{=}2$ multipletsとLagrangianを構築する。
• 正則性と双対性対称性（SおよびT変換）を適用し、$χ{=}2$ SU(2)ゲージ理論のSeiberg-Witten解法を導出する。
• Seiberg-Witten曲線$\lambda^2 = \phi_2(z)$を用いて、正確な低エネルギー前もって計算された汎用的エネルギー密度とモジュライ空間構造を符号化する。
• Nekrasovの方法によるインスタントン数え上げを適用し、前もって計算された汎用的エネルギー密度を再現し、Seiberg-Witten解法を検証する。
• 6次元$χ{=}(2,0)$理論を穴あきおよび特異点を持つリーマン面にコンパクト化することで、$χ{=}2$理論を実現する。
• 特定のファーミオン数およびゲージ群の選択により、非Lagrangian理論（例：Argyres-Douglas CFT）をゲージ理論の極限として構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電磁双対性およびモノポール解は、$χ{=}2$ゲージ理論においてどのようにして出現するのか。それらは低エネルギーのダイナミクスにどのような制約をもたらすのか。
• RQ2 $N_f$フレーバーを持つ$χ{=}2$ SU(2)ゲージ理論における真空のモジュライ空間の構造は何か。$N_f$が変化するにつれてその構造はどのように変化するか。
• RQ3 Argyres-Douglas固定点は、$χ{=}2$ゲージ理論の強い結合限界としてどのようにして出現するのか。その中心的スケール（central charge）は何か。
• RQ4 6次元$χ{=}(2,0)$理論を穴あきリーマン面にコンパクト化することによって、Gaiotto双対性はどのように幾何学的に実現されるのか。
• RQ5 Seiberg-Witten曲線は、$χ{=}2$理論における正確な前もって計算された汎用的エネルギー密度および双対性構造を符号化する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 正則性とモノドロミーを用いて、純粋な$χ{=}2$ SU(2)ゲージ理論のSeiberg-Witten解法が導出され、前もって計算された汎用的エネルギー密度は曲線$\lambda^2 = \phi_2(z)$に符号化されている。
• $N_f=1$では、モノポール点でArgyres-Douglas固定点が出現し、理論は中心的スケール$c=\frac{1}{2}$の非Lagrangian CFTに流れ込む。
• $N_f=2$理論は、三重ファンドアメンタル（trifundamental）の物質内容を持つ双対的記述を持つ。これは、$N=2$ SU(2)理論に$N_f=4$フレーバーがある場合のGaiotto双対性ウェブを実現する。
• $N_f=3$理論には、$Y_3$型のArgyres-Douglas CFTを持つ双対的記述があり、そのモジュライ空間は曲線$x^2 + y^3 + z^5 = 0$によって支配される。
• Calabi-Yau3次元多様体$P_\Gamma(x,y) + P_{\Gamma'}(z,w) = 0$上でのtype IIBコンパクト化によって構築された理論$(G, G')$は、非Lagrangian$χ{=}2$理論を実現し、$AD_{\text{pure}}(G) = (G, A_1)$を含む。
• 純粋な$χ{=}2$ SU(2)理論の最も特異な点は$(A_1, A_1)$に対応し、物理的には1つの自由なハイパーマトリックスに一致する。これは、コンパクト化幾何学$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 0$と整合的である。