[論文レビュー] n-ary associative algebras, cohomology, free algebras and coalgebras

Nicolas Goze, Elisabeth Remm|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特性がゼロの体上で、$n$-項部分的結合的代数のホッシャルトコhomologyについて、2つの新しい手法—コチェーン空間の縮約と可換構造—を導入する。自由$ n $-項代数の基底を計算し、コホモロジー定義における先行研究の不整合を解消する。特に、$ n $ が偶数の場合に有効である。

ABSTRACT

When $n$ is odd, a cohomology of type Hochschild for $n$-ary partially associative algebras has been defined in Gnedbaye's thesis. Unfortunately, the cohomology definition is not valid when $n$ is even. This fact is found again in the computations of the $n$-ary partially associative free algebra. In this work, we define in a first time two approachs of an Hochschild cohomology for $n$-ary partially associative algebras. First by reducing the space of cochains, secondly by using a graded version. Next we compute the free $n$-ary algebra, giving a basis of this algebra. At last we extend the notion of coalgebras to $n$-ary algebras.

研究の動機と目的

• $n$ が偶数の場合に、既存のホッシャルトコホモロジー定義に生じる不整合を解消すること。
• コチェーン空間の縮約と可換構造の2つの異なる手法を用いて、$n$-項代数の整合的なコホモロジー枠組みを定義すること。
• 自由$ n $-項代数の基底を計算し、さらなる代数的構成の構造的基盤を提供すること。
• $n$-項代数へのコモジュラの概念の一般化を図り、結合的代数理論における古典的双対性を拡張すること。
• ゲルステンハーバー積と前リーダイエンティティを用いて、奇数$ n $と偶数$ n $における代数的構造の差を明確にすること。

提案手法

• コチェーン空間の制限による1つのコホモロジー定義と、ゲルステンハーバー積の可換版を用いたもう1つの定義を定義する。
• 条件 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ を用いて、$n$-項代数を定義する。これは結合的代数を一般化する。
• 前リーダイエンティティを適用し、$ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu $ の振る舞いを分析する。特性がゼロであることと符号のキャンセルにより、$n$ が偶数のときこの量は消えることを示す。
• 奇数$ n $の場合、恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $ を導出する。ここで $ \theta_k(\mu) $ は $\mu$ と恒等写像のテンソル積の合成の和である。
• テンソル積への $\mu$ の再帰的適用により、自由$ n $-項代数の基底を特定する。
• $n$-項コモジュラを、一般化されたコアソシエーシティ条件を満たす余乗法 $\Delta$ を用いて定義する。これにより、コアソシエーシティブコモジュラの概念が拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ が偶数の場合に、従来の定義が失敗する中で、$n$-項部分的結合的代数の整合的ホッシャルトコホモロジー理論をどのように定義できるか。
• RQ2 前リーダイエンティティの文脈において、$n$ が奇数と偶数の場合に、$n$-項代数のコホモロジー的性質にどのような構造的差が生じるか。
• RQ3 ベクトル空間 $V$ と $n$-項乗法 $\mu$ によって生成される自由$ n $-項代数の明示的基底は何か。
• RQ4 結合的代数から$ n $-項結合的代数への代数とコモジュラの双対性をどのように一般化できるか。
• RQ5 $\mu \bullet_{n,n} \mu = 0$ の恒等式が、$n$-項リーダイ代数や可換$ n $-項代数の構成に与える影響は何か。

主な発見

• $n$ が偶数の場合、符号のキャンセルと特性ゼロの仮定により、すべての $\varphi \in C^k(V)$ に対して恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 0 $ が成り立つ。
• $n$ が奇数の場合、恒等式 $ (\varphi \bullet \mu) \bullet \mu = 2\varphi \circ \theta_k(\mu) $ が成り立つ。ここで $ \theta_k(\mu) $ は $\mu$ と恒等写像のテンソル積の合成の和である。
• ベクトル空間 $V$ 上の自由$ n $-項代数は、$\mu$ をテンソル積に再帰的に適用することで得られる基底を持ち、明確な組合せ的構造を持つ。
• コチェーン空間の縮約と可換構造によるコホモロジー定義は、$n$ が偶数のとき、グネドバイの元々のコホモロジーにおける不整合を効果的に解消する。
• $n$-項コモジュラの概念は、$\mu$ と $\Delta$ を含む一般化されたコアソシエーシティ条件を満たす余乗法 $\Delta$ を定義することにより拡張される。
• 例として、4段階可解なリーダイ代数から導かれる3-項可換代数や、3次ロビー代数があり、両者とも $\mu \bullet_{3,3} \mu = 0$ を満たす。