[論文レビュー] n-ary Lie and Associative Algebras

Peter W. Michor, A. M. Vinogradov|ArXiv.org|Jan 19, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 13被引用数 37

ひとこと要約

本稿は、多重次数付きNijenhuis–RichardsonおよびGerstenhaber括弧を用いて、$n$-aryな結合的およびLie代数の一般化を導入し、HochschildおよびChevalley理論を用いたコhomology的枠組みを確立する。主な貢献は、完全に反対称化された$n$-Jacobi恒等式によって定義される、Filipovの元来の定式化よりも豊かな代数的構造を持つ$n$-Lie代数の新クラスの提案であり、多微分作用素を通じて力学系への自然な拡張を可能にする。

ABSTRACT

With the help of the multigraded Nijenhuis-- Richardson bracket and the multigraded Gerstenhaber bracket from [7] for every $n\ge 2$ we define $n$-ary associative algebras and their modules and also $n$-ary Lie algebras and their modules, and we give the relevant formulas for Hochschild and Chevalley cohomogy.

研究の動機と目的

• 多重量代数的道具を用いて、$G$-重み付きの体系的枠組みを構築し、$n$-aryな結合的およびLie代数を定式化すること。
• モジュール、微分作用素、およびコhomology（HochschildおよびChevalley）の概念を$n$-ary代数へ一般化すること。
• Filipovの$n$-Lie代数の代替案を提案するため、完全に反対称化された$n$-Jacobi恒等式を用いることで、より柔軟で構造的に多様な代数を生み出すこと。
• $n$-Poisson構造と多微分作用素を結びつけることで、$n$-ary代数と力学系との関係を確立すること。

提案手法

• 文献[7]に由来する多重量括弧であるNijenhuis–RichardsonおよびGerstenhaber括弧を、$n$-ary代数の構築の基礎的代数的道具として用いる。
• $G$-重み付きベクトル空間と$n$-線形作用素を用いて、$n$-aryな結合的代数およびそのモジュールを定義し、一般化された結合的条件を満たす。
• 完全に反対称化された$n$-Jacobi恒等式を用いて$n$-aryなLie代数を導入し、反対称性および一般化されたJacobi関係を保証する。
• 任意の$n$-ary作用素を反対称形式に写像するための代用子$\operatorname{Alt}$を導入し、$n$-ary代数と標準Lie代数構造との間の接続を確立する。
• 導かれた括弧形式および重み付き微分作用素を用いて、$n$-ary代数のコhomology理論（HochschildおよびChevalley）を導出する。
• $\rho(P)$と呼ばれるテンソル積上での微分作用素に類似した作用を定義し、$[P,Q]^S$と表される重み付きLie括弧と整合的であるようにし、コhomological計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の括弧構造を用いて、$G$-重み付き枠組み内で$n$-aryな結合的およびLie代数を体系的に定式化する方法は何か？
• RQ2 完全に反対称化された$n$-Jacobi恒等式は、Filipovの元来の定義と比較して、より柔軟な$n$-Lie代数を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 HochschildおよびChevalleyコhomology理論は、$n$-ary代数へどのように拡張可能であり、それらが分類する代数的構造は何か？
• RQ4 $n$-Poisson構造と多微分作用素を用いて、$n$-ary代数を物理的力学系と結びつけることは可能か？
• RQ5 $n$-ary代数コhomologyの文脈において、導かれた括弧$[P,Q]^S$および作用$\rho(P)$の性質は何か？

主な発見

• 完全に反対称化された$n$-Jacobi恒等式は、Filipovの元来の定式化よりも構造的に豊かで多様な$n$-aryLie代数を生成する。
• 代用子$\operatorname{Alt}$は、任意の$n$-ary F-Lie代数構造$\mu$を標準Lie代数構造に写像し、$n$-ary代数と二項Lie代数との間の接続を確立する。
• 導かれた括弧$[P,Q]^S$は、$n$-ary作用素の空間上で重み付きLie代数を形成し、$\rho(P)$は係数付き微分作用素としての性質を示す。
• $n$-ary代数のコhomologyはHochschildおよびChevalley理論によって形式化され、古典的コhomological道具が$n$-ary設定へ拡張される。
• この構成は自然な力学的実現を支持する：$n>2$のとき、$\mathcal{C}^\infty(M)$上の$n$-Poisson構造は、$n$個の可換な階数$n$のベクトル場によって局所的に特徴づけられ、既知の結果と整合する剛性を確認する。
• この枠組みにより、$\rho(P)$作用および$S^{p,q}$符号作用素を用いてテンソルの対称性を扱うことで、係数付き$n$-ary代数の体系的取り扱いが可能になる。