[論文レビュー] n-digit Benford distributed random variables

Azar Khosravani, Constantin Rasinariu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Benford’s Law and Fraud Detection参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最初の $n$ 個の有効数字がベンフォードの法則に従うが、$n$ 番目以降の桁は従わないようなランダム変数、すなわち $n$-桁ベンフォード分布のランダム変数の概念を導入する。この研究では、対数密度関数 $g^\dagger$ の mod 1 写像を用いて桁の分布を特徴づけ、$g^\dagger$ が一様であるとスケール不変性および基数不変性が成立することを示す。主な貢献は、$n$-桁ベンフォード変数を一般に構成する手法の提示であり、1桁の例を用いた Mathematica によるシミュレーションにより、理論的なベンフォード確率と高い一致を示している。

ABSTRACT

The scope of this paper is twofold. First, to emphasize the use of the mod 1 map in exploring the digit distribution of random variables. We show that the well-known base- and scale-invariance of Benford variables are consequences of their associated mod 1 density functions being uniformly distributed. Second, to introduce a new concept of the $n$-digit Benford variable. Such a variable is Benford in the first $n$ digits, but it is not guaranteed to have a logarithmic distribution beyond the $n$-th digit. We conclude the paper by giving a general construction method for $n$-digit Benford variables, and provide a concrete example.

研究の動機と目的

• ランダム変数の桁分布を特徴づけるために、mod 1 写像が果たす役割を明確化すること。
• スケール不変性および基数不変性が、mod 1 密度 $g^\dagger$ の一様性に起因することを示すこと。
• $n$-桁ベンフォード分布のランダム変数の概念を導入し、形式化すること。これは最初の $n$ 桁がベンフォードに従うが、それより先は必ずしも従わないことを意味する。
• 区分的定義された mod 1 密度を用いて、$n$-桁ベンフォード変数を一般に構成する手法を提供すること。
• 100,000 データポイントを用いた Mathematica での数値シミュレーションにより、構成法の妥当性を検証すること。

提案手法

• ランダム変数 $Y$ の対数密度関数 $g$ に対して mod 1 写像を適用し、$x \in [0,1)$ に対して $g^\dagger(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} g(x+k)$ を定義する。この $g^\dagger$ が有効桁の分布を支配する。
• 特定の最初の $n$ 桁の数字の組み合わせが現れる確率は、その数字の組み合わせに対応する対数的区間における $g^\dagger$ の積分として計算される。
• 区間 $[0,1)$ を $10^n$ 個の部分に分割し、各部分で $g^\dagger$ を正規化された確率密度関数として区分的に定義することで、$n$-桁ベンフォード条件を満たす一般構成法を提案する。
• 1桁の例では、$k=1$ から $9$ までの区間 $[\log k, \log(k+1))$ に正弦関数を用いて非一様な $g^\dagger$ を構成し、最初の桁の確率が正しくなるようにする。
• 100,000 ポイントの離散的近似として、1桁ベンフォード変数を Mathematica を用いて生成し、$f(y) = g(\log y)/(y \ln 10)$ を用いて $g^\dagger$ から密度関数 $f(y)$ を導出する。
• ヒストグラムと統計表を用いて、シミュレートされたデータと理論的ベンフォード確率を比較し、高い正確性を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mod 1 密度関数 $g^\dagger$ の mod 1 写像が、ランダム変数の桁分布をどのように決定するか？
• RQ2 なぜスケール不変性および基数不変性が、$g^\dagger$ の一様性に起因するのか？
• RQ3 最初の $n$ 個の有効数字がベンフォードの法則に従うが、それより先の桁は従わないようなランダム変数を構成できるか？
• RQ4 区分的定義された mod 1 密度を用いて、$n$-桁ベンフォード分布のランダム変数を一般に構成する方法は何か？
• RQ5 1桁ベンフォード変数はどの程度の精度で数値的にシミュレートできるか？また、シミュレーション結果は理論的期待と一致するか？

主な発見

• ランダム変数が最初の $n$ 桁でベンフォードに従うための必要十分条件は、その mod 1 密度 $g^\dagger$ が数字の組み合わせに対応する区間上で積分した値が $\log\left(1 + \frac{1}{10^{n-1}d_1 + \cdots + d_n}\right)$ に等しくなることである。
• 一般に、$[0,1)$ を $10^n$ 個の区間に分割し、各区間で正規化された密度関数として $g^\dagger$ を定義することで、$n$-桁ベンフォード変数を構成できる。これにより、すべての $n$-桁組み合わせに対する正しい累積確率が保証される。
• 100,000 データポイントを用いた Mathematica によるシミュレーションにより、1桁ベンフォード変数を成功裏に再現した。シミュレートされた最初の桁の分布は、理論的なベンフォード確率と非常に近い一致を示した。
• 実際のシミュレーション確率は、それぞれの桁 1 から 9 に対して 0.3006、0.1775、0.1258、0.0957、0.0783、0.0671、0.0572、0.0516、0.0463 であった。理論値は 0.3010、0.1761、0.1249、0.0969、0.0792、0.0669、0.0580、0.0512、0.0458 であった。
• 非一様な $g^\dagger$（例：正弦関数に基づく）を用いた例では、1桁ベンフォード変数を生成できたが、スケール不変性および基数不変性は満たさなかった。これにより、スケールおよび基数不変性を満たすためには $g^\dagger$ が一様である必要があることが確認された。
• 本稿では、$g^\dagger = 1$（一様）であることが、スケール不変性および基数不変性の必要十分条件であり、この一様性が最初の桁に対するベンフォードの法則を直接示していることを確立した。