[論文レビュー] N Dilations and Transference for Continuous One-Parameter Semigroups of Positive Contractions on $\mathcal{L}^p$-spaces

Gero Fendler|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 38被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$\mathcal{L}^p$-空間上の正の収縮作用素からなる連続1パラメータ半群に対して、超積技術と関数計算を用いて拡大および転送結果を確立する。このような半群が複素平面の扇型領域で解析的であることを証明し、解析性の最適な角度を特定する。この結果により、ヒルベルト空間における古典的結果が、拡大および転送原理を用いて$\mathcal{L}^p$-空間へと拡張される。

ABSTRACT

These are the notes of a lecture given at the university of Wroclaw in 1996. We present results of semigroups of (sub)positive contractions on L^p-spaces. The dilation theorem of Akcoglue and sucheston is considered as a starting point. We construct a dilation of a strongly continuous semigroup of (sub)positive contractions on L^p-space, 1

研究の動機と目的

• 連続1パラメータ半群である正の収縮作用素のSz. Nagy-Foias拡大理論をヒルベルト空間から$\mathcal{L}^p$-空間へと拡張すること。
• 超積構成と完全有界性を用いて、$\mathcal{L}^p$-空間上の作用素に対する転送原理を確立すること。
• 部分マコフ半群の$\mathcal{L}^p$-空間における解析性の最適な角度を特定し、既知の境界を改善すること。
• 拡大および超積技術を用いて、von Neumannの不等式と多項式関数計算を$\mathcal{L}^p$-設定へと一般化すること。

提案手法

• バナッハ空間の超積構成を用いて、有限次元の場合の性質を無限次元$\mathcal{L}^p$-空間へと拡張する。
• Akçoglu-Suchestonの有限次元拡大定理を用いて、$\mathcal{L}^p$-空間上の正の収縮作用素の拡大を構成する。
• ヒルベルト空間における関数計算を基盤とし、転送および完全有界性を用いてそれを$\mathcal{L}^p$-空間へと拡張する。
• スペクトル写像定理とユニタリ拡大を用いて、$\mathcal{L}^p$-空間上の多項式関数計算のノルム推定を導出する。
• 単調収束定理と解析接続を用いて、解析性の錐内におけるべき級数の almost everywhere 収束を示す。
• 収束性$\sum_{n=0}^\infty \|H_n\|_p \rho^n < \infty$の解析と、重なり合う球による$\Gamma_p$の被覆を用いて、半群の解析的角を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続1パラメータ半群である正の収縮作用素について、Sz. Nagy-Foiasの拡大定理はヒルベルト空間から$\mathcal{L}^p$-空間へと拡張可能か？
• RQ2 部分マコフ半群の$\mathcal{L}^p$-空間における解析性の最適な角度は何か？また、$p$に依存するか？
• RQ3 超積技術と完全有界性を用いて、線形写像の転送原理を$\mathcal{L}^p$-空間へと一般化できるか？
• RQ4 多項式関数計算におけるvon Neumannの不等式は、拡大および関数計算を用いて$\mathcal{L}^p$-空間へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 $L^p$-有界性および$L^2$上での自己随伴性は、半群の解析的角にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 空間$\mathcal{L}^p$上での半群$(T_t)_{t \geq 0}$は扇型領域$\Gamma_p$で解析的であり、解析的角は$p$に依存する。最適な角度は$\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{|p-2|}{2\sqrt{p-1}}\right)$である。
• $1 < r < 2$で$r \leq p \leq r'$のとき、解析的角は$\frac{\pi}{2} \cdot \frac{r}{p} \cdot \frac{2-p}{2-r}$以上である。これは既知の境界を改善する。
• 平方関数および最大関数の転送は完全有界であり、転送下での$L^p$-ノルム推定の安定性を保証する。
• 解析的領域$\Gamma_p$内の重なり合う球上での解析接続による$T_z f$の構成により、ほとんど everywhere での点ごとの収束および解析的拡張の定義可能性が保証される。
• 半群の原点における強い連続性により、$z_n \to 0$のとき$T_{z_n} T_s f \to T_s f$ almost everywhere となる。これは原点における解析性を確認する。
• 超積の使用により、有限次元での拡大結果が無限次元$\mathcal{L}^p$-空間へと持ち上げられ、正性および収縮性の性質が保存される。