[論文レビュー] N-dimension Central Affine Curve Flows

Chuu-Lian Terng, Zhiwei Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ℝⁿ\{0} 上の曲線空間に中心的アフィン弧長パラメータを備えた N 次元中心的アフィン曲線フローの階層を導入し、Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 階層の幾何的実現を確立する。主な貢献は、j 番目の中心的アフィン曲線フロー（SL(n,ℝ) および平行移動に関しての同値類を除く）の解と j 番目の A₁^(n−1)-KdV フローの解との間の一対一対応であり、中心的アフィン曲率写像を用いて、可積分性、シンプレクティック構造、および Bäcklund 変換が明示的に構成されている。

ABSTRACT

We construct a sequence of commuting central affine curve flows on $R^n\backslash 0$ invariant under the action of $SL(n,R)$ and prove the following results: (a) The central affine curvatures of a solution of the j-th central affine curve flow is a solution of the j-th flow of Gelfand-Dickey (GD$_n$) hierarchy on the space of n-th order differential operators. (b) We use the solution of the Cauchy problems of the GD$_n$ flow to solve the Cauchy problems for the central affine curve flows with periodic initial data and also with initial data whose central affine curvatures are rapidly decaying. (c) We obtain a bi-Hamiltonian structure for the central affine curve flow hierarchy and prove that it arises naturally from the Poisson structures of certain co-adjoint orbits. (d) We construct Backlund transformations, infinitely many families of explicit solutions and give a permutability formula for these curve flows.

研究の動機と目的

• ℝⁿ\{0} 上に、第二のフローを Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 階層に一般化する、可換な高階中心的アフィン曲線フローの階層を構成すること。
• j 番目の中心的アフィン曲線フローの解（SL(n,ℝ) および平行移動に関しての同値類を除く）と j 番目の A₁^(n−1)-KdV フローの解との間の一対一対応を確立すること。
• A₁^(n−1)-KdV 階層の解を用いて、周期的および急速に減衰する初期データをもつ中心的アフィン曲線フロー階層のコーシー問題を解くこと。
• 階層に対して Bäcklund 変換および可換性定理を構成し、既知の解から新たな解を生成可能にするものとする。

提案手法

• 中心的アフィン弧長パラメータを用いて、g = (γ, γₓ, ..., γₓ^(n−1)) なる移動枠を定義し、gₓ = g(b + u) を満たす。ここで u は Vₙ ⊂ sl(n,ℝ) に値をとる中心的アフィン曲率ベクトルである。
• 中心的アフィン曲率写像 Ψ: ℳₙ(ℝ) → C∞(ℝ, Vₙ) は、各曲線にその曲率ベクトル u を割り当てる。これは SL(n,ℝ) の作用に関して完全な微分不変量の集合をなす。
• 微分多項式 φₙ が導出され、ベクトル場 ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ ξᵢ γₓ⁽ⁱ⁾ が ℳₙ(ℝ) に接するための必要十分条件は ξ₀ = φₙ(u, ξ₁, ..., ξₙ₋₁) であることである。これにより接空間が C∞(ℝ, ℝⁿ⁻¹) として特定される。
• 中心的アフィン曲線フローは γₜ = ∑ᵢ₌₀ⁿ⁻¹ ξᵢ(u) γₓ⁽ⁱ⁾ として定義され、ξ₀ は φₙ によって決定され、SL(n,ℝ) および平行移動に関して不変性が保証される。
• 第二のフローが γₜ = −(2/n)uₙ₋₁γ + γₓₓ として与えられ、これは A₁^(n−1)-KdV 階層の第二のフローに一致することが示された。
• シンプレクティック形式 ŵ₂ および ŵ₃ が、ループ代数の余随伴軌道からの引き戻しにより、それぞれの軌道空間 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) および ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上に構成された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL(n,ℝ) および平行移動に関して不変であるような、ℝⁿ\{0} 上に高階中心的アフィン曲線フローの階層をどのように構成できるか？
• RQ2 j 番目の中心的アフィン曲線フローの解と j 番目の A₁^(n−1)-KdV フローの解との間の正確な幾何的対応関係は何か？
• RQ3 周期的初期データおよび曲率が急速に減衰する初期データをもつ中心的アフィン曲線フロー階層のコーシー問題は、既知の A₁^(n−1)-KdV 階層の解を用いて解けるか？
• RQ4 この幾何的設定において、Bäcklund 変換および可換性定理はどのように実現されるか？
• RQ5 軌道空間 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) および ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上に現れるシンプレクティック構造は何か？また、それらは余随伴作用とどのように関係しているか？

主な発見

• 第二の中心的アフィン曲線フロー γₜ = −(2/n)uₙ₋₁γ + γₓₓ は、正確に Drinfeld-Sokolov A₁^(n−1)-KdV 階層の第二のフローに対応し、この可積分系の幾何的実現を提供する。
• 中心的アフィン曲率写像 Ψ は、j 番目の中心的アフィン曲線フローの解（SL(n,ℝ) および平行移動に関しての同値類を除く）と j 番目の A₁^(n−1)-KdV フローの解との間の一対一対応を誘導する。
• 周期的初期データおよび曲率が急速に減衰する初期データをもつ中心的アフィン曲線フロー階層のコーシー問題は、A₁^(n−1)-KdV 階層の解を用いて解かれた。
• 2形式 ŵ₂ は軌道空間 ℳₙ(S¹)/SL(n,ℝ) 上に弱シンプレクティック形式を誘導し、ŵ₃ は ℳₙ(S¹)/(SL(n,ℝ)×ℝⁿ⁻¹) 上に弱シンプレクティック形式を誘導する。これによりハミルトニアン構造が確立された。
• Bäcklund 変換および可換性定理は、ループ代数上のゲージ作用を介して構成され、中心的アフィン曲率写像を通じて階層の解を結びつける。
• 共随伴軌道のシンプレクティック形式 τ₂ を O₂ に引き戻した 𝔪₂: ℳₙ(S¹) → O₂ に対して、𝔪₂*τ₂ = ŵ₂ が成り立ち、シンプレクティック構造が幾何的に自然であることが確認された。