[論文レビュー] n-dimensional local fields and adeles on n-dimensional schemes

Denis Vasilievich Osipov|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、n次元スキーム上のn次元局所体およびアデールの包括的サーベイを提供し、ベイリンソンの単体的アプローチを用いて、基礎的な定義、分類定理、アデール複体を確立する。これらの構造が準連接層を解体し、特に表面において代数幾何学における再帰的法則を導く仕組みを示しており、単純な式で、値関数と符号項を用いて、ターム記号および高次ターム記号を表現する。

ABSTRACT

It is a survey paper on n-dimensional local fields and adeles on n-dimensional schemes.

研究の動機と目的

• n次元局所体の理論を体系化し、高次元代数幾何学におけるその役割を明確化すること。
• 古典的類体論およびアデール構造を、任意の次元のスキームへ一般化すること。
• 高次アデール、層コホモロジー、および交線論の間の関係をアデール的解体を介して確立すること。
• ターム記号および高次ミルナーK理論を用いて、2次元局所体における再帰的法則を定式化し、証明すること。
• パーシン、ベイリンソン、カトウ、および他の研究者らの先行研究を統合・拡張すること。

提案手法

• n次元局所体を、(n−1)次元の残渣体を持つ完備離散付値環の分数体として帰納的に定義する。
• ベイリンソンの単体的アプローチを用い、部分多様体のフラグを介してネーター的スキーム上の高次アデールを定義する。
• フラグ上の制限積としてアデール複体を構成し、成分をn次元局所体にとる。
• 1つのフラグに結びついた制限付きアデール複体を導入し、局所化されたコホモロジー的解体を可能にする。
• 代数K理論におけるミルナーK理論および境界写像を用いて、高次記号ν_K(f,g)および(f,g,h)_Kを定義する。
• 整数の組み合わせの偶奇に依存する符号項を含む、値関数ν_iを用いた記号の明示的式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n次元局所体はどのように分類可能であり、繰り返し離散付値関数を用いた構造的性質は何か？
• RQ2 n次元スキーム上の高次アデールは、曲線および表面における古典的アデールをどのように一般化するか？
• RQ3 アデール複体は、ネーター的スキーム上の準連接層を解体する際に果たす役割は何か？
• RQ4 2次元局所体において、ターム記号ν_K(f,g)および高次記号(f,g,h)_Kの再帰的法則はどのように生じるか？
• RQ5 制限付きアデール複体と代数幾何学におけるコホモロジー的解体の関係は何か？

主な発見

• n次元局所体は帰納的に分類される：体Kが最後の残渣体kをもつn次元体であるとは、(n−1)次元の残渣体をもつ完備離散付値環の分数体であることを意味する。
• ターム記号ν_K(f,g)は明示的にν_K(f,g) = ν_1(f)ν_2(g) − ν_2(f)ν_1(g)として与えられ、ν_iは繰り返し付値関数である。
• 高次記号(f,g,h)_Kは、符号項とf,g,hの最大イデアルを法とする単項式の積として表現され、符号項は付値の積の対称和に依存する。
• 任意の表面X上の点pに対して、pを通過する曲線Cの芽について∑_{C∋p} ν_K(f,g) = 0が成り立ち、また∏_{C∋p} (f,g,h)_K = 1となる。これはグローバル再帰的法則を示している。
• 表面X上の曲線Cに対して、∑_{p∈C} [k(p):k]·ν_K(f,g) = 0および∏_{p∈C} Nm_{k(p)/k} (f,g,h)_K = 1が成り立つ。これは相対的再帰的法則を確立する。
• 記号ν_K(f,g)はK^*からℤへの中心拡大における交換子として生じ、再帰的法則の群論的解釈を提供する。