[論文レビュー] N\'eron's pairing and relative algebraic equivalence

Cédric Pépin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完備な離散付値体上の任意の射影的・滑らかで幾何学的に連結なスキームに対して、0次サイクルの次数0および代数的に0に同値な除集合のNéronのペアリングを、統一的な交線論的記述で確立する。半因子的モデルを用いることで、Gross-Hriljacの曲線に対する結果およびNéronのアーベル多様体に対する結果を一般化し、Néronモデルに関するGrothendieckの双対性予想を、半因子的コンactification上の代数同値関係の観点から再解釈する。

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring with algebraically closed residue field k and fraction field K. Let X_K be a projective smooth and geometrically connected scheme over K. N\'eron defined a canonical pairing on X_K between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero. When X_K is an abelian variety, and if one restricts to those 0-cycles supported by K-rational points, N\'eron gave an expression of his pairing involving intersection multiplicities on the N\'eron model A of A_K over R. When X_K is a curve, Gross and Hriljac gave independantly an analogous description of N\'eron's pairing, but for arbitrary 0-cycles of degree zero, by means of intersection theory on a proper flat regular R-model X of X_K. In this article, we show that these intersection computations are valid for an arbitrary scheme X_K as above and arbitrary 0-cyles of degree zero, by using a proper flat normal and semi-factorial model X of X_K over R. When X_K=A_K is an abelian variety, and X is a semi-factorial compactification of its N\'eron model A, these computations can be used to study the algebraic equivalence on X. We then obtain an interpretation of Grothentieck's duality for the N\'eron model A, in terms of the Picard functor of X over R.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、半因子的モデル上の交線論を用いて、さまざまな幾何的設定におけるNéronのペアリングの記述を統一することである。
• 本稿は、アーベル多様体におけるNéronの公式および曲線におけるGross-Hriljacの公式を、完備な離散付値環上の任意の射影的・滑らかなスキームへと拡張することを目的としている。
• 本研究は、アーベル多様体のNéronモデルの半因子的コンactification上の代数同値関係を調査する。
• 本稿は、Picard函手および代数同値関係の観点から、Néronモデルに関するGrothendieckの双対性予想を新たな形で提示する。
• 本稿は、特に成分群ペアリングの核に関して、JacobiansにおけるNéronおよびGrothendieckのペアリングの計算を精緻化することを目的としている。

提案手法

• 著者らは、XK の R-モデル X が正規・平坦・固有・半因子的であるとき、XK の一般点上で交線多重度を用いて、自然なペアリング [cK, DK]X を構成する。
• 半因子的モデルにおける Pic(X) → Pic(XK) の全射性を用いて、XK が射影的・滑らかであるとき、このペアリングがNéronのペアリングと一致することを証明する。
• アーベル多様体の場合、Néronモデル A 及びその半因子的コンactification A を用い、A 上での交線数を用いてペアリングを計算する。
• このアプローチは、半因子的モデル上のPicard函手の理論および特別纤维の成分群の理論を用いる。
• 特に、Jacobiansにおける除集合的対応に関するNéronのペアリングの再帰法則を適用し、θ除集合および乗法-by-d 写像による引き戻しを含む。
• 有理点が存在することを保証し、サイクルの成分群への特化を制御するために、有限拡大への基本変換を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の射影的・滑らかで幾何学的に連結なスキーム XK に対して、K 上の完備な離散付値環上、0次サイクルの次数0および代数的に0に同値な除集合のNéronのペアリングは、半因子的モデル上の交線論的記述によって一様に記述可能か？
• RQ2 曲線およびアーベル多様体におけるNéronのペアリングの交線論的記述は、半因子的モデルを用いて一般のスキームへと拡張可能か？
• RQ3 Néronモデルに関するGrothendieckの双対性予想は、Néronモデルの半因子的コンactification上の代数同値関係とどのように関係するか？
• RQ4 JacobiansにおけるGrothendieckの双対性の成分群ペアリングの正確な核は何か？また、曲線の次数とどのように関係するか？
• RQ5 Néronのペアリングの再帰法則を用いて、Néronモデル上の交線数を用いて、Jacobiansの成分群間のペアリングを計算可能か？

主な発見

• 半因子的モデル X 上での交線多重度を用いて定義された自然なペアリング [cK, DK]X は、任意の射影的・滑らかで幾何学的に連結なスキーム XK に対して、Néronのペアリングと一致する。
• 曲線の場合、この方法によりGross-Hriljacの公式を正確に回復し、ペアリングは特別纤维の交線行列を用いて (cK.DK) + (cK.(-V)) として表される。
• アーベル多様体の場合、K-有理点上のペアリングは、交線数項と成分群項へのNéronの分解を回復する。
• 本稿では、Grothendieckの双対性ペアリングが成分群上で完全であるための必要十分条件として、Néronモデルの半因子的コンactification上での代数同値関係が自明であること（すなわち、同値関係が自明であること）を証明し、双対性予想の新たな形を提示する。
• Jacobiansの場合、成分群上のGrothendieckペアリングの核は、曲線のインデックス d によって消えることが示され、以前の境界を改善する。
• 本稿は、成分群上のペアリング ⟨a, da′⟩M が ⟨da, a′⟩ mod Z に等しいことを確立し、d=1 のとき双対性ペアリングが完全であることを証明する。