[論文レビュー] N-Fold Integer Programming

Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke+2 more|ArXiv.org|May 9, 2006

Optimization and Packing Problems参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、n重整数プログラミング—n個の同一ブロックが結合制約で接続された特定のブロック帯広構造を持つ整数計画問題のクラス—が多項式時間で解けることを確立する。この手法は、Graver基底による指向的増幅とn重行列のGraver基底の安定化を組み合わせ、高次元におけるマルチウェイ輸送問題とカットストック問題に対する効率的アルゴリズムをもたらす。

ABSTRACT

In this article we study a broad class of integer programming problems in variable dimension. We show that these so-termed {\em n-fold integer programming problems} are polynomial time solvable. Our proof involves two heavy ingredients discovered recently: the equivalence of linear optimization and so-called directed augmentation, and the stabilization of certain Graver bases. We discuss several applications of our algorithm to multiway transportation problems and to packing problems. One important consequence of our results is a polynomial time algorithm for the $d$-dimensional integer transportation problem for long multiway tables. Another interesting application is a new algorithm for the classical cutting stock problem.

研究の動機と目的

• マルチウェイ輸送と連鎖表に由来する高次元整数計画問題の計算複雑性を扱う。
• 変数次元をもつ構造的ブロック制約を持つ問題クラスであるn重整数プログラミングの多項式時間アルゴリズムを開発する。
• 固定次元整数プログラミングに関する既知の結果を、高度な代数的・組合せ的技術を用いて変数次元へと拡張する。
• 長大なマルチウェイ輸送表や古典的カットストック問題に対する効率的解法を提供する。
• 任意の結合行列をもつ一般化n重整数プログラミングを解くための一般枠組みを確立する。

提案手法

• 線形最適化と指向的増幅の等価性を活用し、Graver基底要素を用いた反復的改善により解を改善する。
• n重行列のGraver基底の安定化を適用し、有限個の基本写像を用いてn重行列のGraver基底が多項式時間で計算可能であることを示す。
• 結合制約をモデル化するため、単位行列ブロックと係数ブロックを組み合わせたブロック構造行列 [A,B]^(n) を構築する。
• 2段階のアルゴリズムを採用：まず人工変数を含む補助n重プログラムにより実行可能解を求める。その後、Graver基底増幅を用いて最適化を実行する。
• 一般化n重問題を、事前に計算されたGraver基底を用いて多項式時間で解ける指向的増幅ステップの列に還元する。
• n重行列のGraver基底が有限個の変換の下で安定することを証明し、有限個の写像による効率的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数次元 nq をもつn重整数プログラミング問題は、その高次元性にもかかわらず多項式時間で解けるか？
• RQ2 n重行列のGraver基底の安定化は、多項式時間での基底計算を可能にするか？
• RQ3 指向的増幅フレームワークはn重プログラムに適用可能であり、多項式時間で最適解に収束するか？
• RQ4 固定次元または変数次元における長大なテーブル（多数の段階を含む）をもつマルチウェイ輸送問題に対して、アルゴリズム的影響は何か？
• RQ5 提案されたn重フレームワークを用いて、古典的カットストック問題を多項式時間で解けるか？

主な発見

• 任意の固定整数行列 A に対して、n重整数プログラミング問題は多項式時間で解ける。入力サイズは n および b, c のビットサイズによって定義される。
• d次元整数輸送問題に長大なマルチウェイテーブルを適用した場合、その計算複雑性が解消され、多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 任意の結合行列 A と B をもつ一般化n重整数プログラミング問題は多項式時間で解ける。これは定理1.1の拡張である。
• 定理4.2で形式化された、有限個の写像 φ_{k1,k2} を用いて、n重行列 [A,B]^(n) のGraver基底が多項式時間で計算可能である。
• アルゴリズムは、実行可能性、非有界性の判定、または最適解の返還を多項式時間で正しく行い、誤検出や見逃しは発生しない。
• 本手法により、一般化n重整数プログラミングとしてモデル化することで、古典的カットストック問題に対する新しい多項式時間アルゴリズムが得られる。