[論文レビュー] N-Galilean conformal algebras and higher derivatives Lagrangians

Krzysztof Andrzejewski, Joanna Gonera|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数 N に対する N-ガリレオ変換代数が、$\frac{N+1}{2}$ 階の時間微分を含む自由ラグランジアンの最大対称性代数であることを示している。ネーターの定理と無限小対称性解析を用いて、すべての対称性生成子を導出し、それらが N-ガリレオ変換代数の下で閉じることを示している。これは、シュレーディンガー代数の Niederer の結果を高階微分系へ一般化するものである。

ABSTRACT

It is shown that the N-Galilean conformal algebra, with N-odd, is the maximal symmetry algebra of the free Lagrangian involving (N+1)/2-th order time derivative.

研究の動機と目的

• 奇数 N に対して、$\frac{N+1}{2}$ 階の時間微分を含む自由ラグランジアンの最大連続的対称性代数を特定すること。
• シュレーディンガー代数が自由非相対論的力学の最大対称性を特徴づける Niederer の結果を、高階微分系へ一般化すること。
• 高階微分ラグランジアンとネーター対称性を用いて、N-ガリレオ変換代数の動的実現を確立すること。
• 中心拡大が代数的構造には許容可能であるが、動的実現には現れないことから、中心拡大の役割を明確にすること。

提案手法

• 高階微分ラグランジアン $L = \frac{m}{2} \left( \frac{d^n \vec{q}}{dt^n} \right)^2$ にネーター対称性条件を適用する。ここで $n = \frac{N+1}{2}$ である。
• 時間および座標変換に対する無限小変換 $t' = t + \epsilon \psi(t)$, $\vec{q}' = \vec{q} + \epsilon \vec{\phi}(\vec{q}, t)$ を用いて、ラグランジアンの対称性条件を導出する。
• 時間再パrametrization を用い、変換された高階微分項 $\frac{d^n \vec{q}'}{dt'^n}$ を $\epsilon$ の1次まで展開する。
• 全時間微分の項を除いた不変性条件を導出し、$\psi(t)$, $\vec{\phi}(\vec{q}, t)$, およびゲージ関数 $f$ に関する微分方程式系を得る。
• 多項式形を仮定することで得られた方程式を解き、$\psi = \tau + \lambda t + c t^2$, $\vec{\phi} = \left(\frac{2n-1}{2}\right)(\lambda + 2c t)\vec{q} + \omega_{ab} q_b + \sum_{k=0}^n v_{ak} t^k$, および $f$ が $\vec{q}^{(n-1)}$ のみに依存することを導く。
• 対称性生成子に対応する微分作用素 $H, D, K, \vec{J}, C_{ak}$ を特定し、$N = 2n - 1$ の下で N-ガリレオ変換代数の閉じる性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数 N に対して、$\frac{N+1}{2}$ 階の時間微分を含む自由ラグランジアンの最大連続的対称性代数は何か？
• RQ2 奇数 N に対する N-ガリレオ変換代数は、このような高階微分ラグランジアンのネーター対称性代数として実現可能か？
• RQ3 時間並進、スケーリング、特殊共形変換、回転、およびブーストに類似した対称性生成子は、どのようにネーター条件から導かれるか？
• RQ4 代数的には中心拡大を許容するが、動的実現には中心荷重が現れないのはなぜか？
• RQ5 この結果は、シュレーディンガー代数に対する Niederer の定理をどのように高階微分系へ一般化するか？

主な発見

• 奇数 $N$ に対する N-ガリレオ変換代数は、自由ラグランジアン $L = \frac{m}{2} \left( \frac{d^n \vec{q}}{dt^n} \right)^2$（$n = \frac{N+1}{2}$）の最大対称性代数である。
• 対称性生成子は微分作用素として実現される：$H = i\partial_t$, $D = -i\partial_t - i\frac{2n-1}{2} \vec{q} \cdot \partial_{\vec{q}}$, $K = i t^2 \partial_t + i(2n-1)t \vec{q} \cdot \partial_{\vec{q}}$, $\vec{J} = -i \vec{q} \times \partial_{\vec{q}}$, および $C_{ak} = i(-1)^k t^k \partial_{q_a}$。
• 代数的構造が $N = 2n - 1$ の標準的 N-ガリレオ変換代数関係に従って閉じることを確認し、動的実現が代数的構造を正しく反映していることを示している。
• 中心荷重は動的実現には現れないが、代数的構造では許容可能であるため、中心荷重はハミルトニアンレベルでのみ出現することが示唆される。
• 対称性パrameter の解法において、$\psi(t)$ が2次関数、$\vec{\phi}$ が $\vec{q}$ に関して線形で時間依存係数を持つこと、および $\chi_a(t)$ が次数 $n$ の多項式であることが必要であり、これにより $n+1$ 個のブーストに類似した生成子 $C_{ak}$ が得られる。
• この結果は Niederer の定理を一般化する：標準的な自由ラグランジアンに対してシュレーディンガー代数が最大対称性をもつように、高階微分自由ラグランジアンに対しても N-ガリレオ変換代数が最大対称性をもつ。