[論文レビュー] N-Laplacian equations in $\mathbb{R}^{N}$ with subcritical and critical growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition

Nhuyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^N$ の有界領域における $N$-ラプラシアン方程式に対して、非自明な非負解の存在を、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を要件としないで示している。著者らは、セラミ型のマウンテン・パス定理とモーザー＝トゥリジンガー不等式を用いて、より弱い成長仮定のもとでコンパクト性と存在性を証明する。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{R}^N$. In this paper, we consider the following nonlinear elliptic equation of $N$-Laplacian type: $-Δ_{N}u=f(x,u)$ where $u\in W_{0}^{1,2}\{0}$ when $f$ is of subcritical or critical exponential growth. This nonlinearity is motivated by the Moser-Trudinger inequality. In fact, we will prove the existence of a nontrivial nonnegative solution to the above equation without the Ambrosetti-Rabinowitz $(AR)$ condition. Earlier works in the literature on the existence of nontrivial solutions to $N-$Laplacian in $\mathbb{R}^{N}$ when the nonlinear term $f$ has the exponential growth only deal with the case when $f$ satisfies the $(AR)$ condition. Our approach is based on a suitable version of the Mountain Pass Theorem introduced by G. Cerami \cite{Ce1, Ce2}. This approach can also be used to yield an existence result for the $p$-Laplacian equation ($1

研究の動機と目的

• 有界領域 $Ω ⊂ ℝ^N$ における $N$-ラプラシアン方程式に対して、臨界的および亜臨界的指数的成長を示す非自明な非負解の存在を確立すること。
• このような方程式に対して変分法を用いる際、一般的に仮定されるアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を排除すること。
• 非線形項が指数的に成長するが AR 条件を満たさない場合に、変分法を拡張すること。
• 亜臨界的多項式成長を示す $p$-ラプラシアン方程式と臨界的指数的成長を示す $N$-ラプラシアン方程式の両方に適用可能な枠組みを提供すること。
• 臨界的指数的成長設定において、パライス＝スメイルのコンパクト性の欠如を克服するために、セラミ条件が十分であることを示すこと。

提案手法

• パライス＝スメイル列の代わりにセラミ列を扱えるように、セラミに帰属するマウンテン・パス定理の変種を適応すること。
• エネルギー関数の指数的成長項を制御するために、モーザー＝トゥリジンガー不等式を用いること、特に臨界ケースにおいて。
• マウンテン・パスレベルを上から評価するために、$Ω$ 内の球に台を持つ適切なテスト関数列 $M_n$ を構成すること。
• 弱収束と指数的可積分性の推定を用いて、背理法によりセラミ列の有界性を証明すること。
• 非線形項の制御のため、$f$ に条項 $(CG)$ を適用し、切断された指数的バインドを介して可積分性を保証すること。
• 正規化された列の弱収束と $L^1$ ノルムの強い収束を用いて、列が有界でない場合に矛盾を導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件が成立しない場合、臨界的指数的成長を示す $N$-ラプラシアン方程式に対して非自明な解が存在しうるか？
• RQ2 臨界的指数的成長設定において、セラミ条件がコンパクト性と存在性を保証するのに十分か？
• RQ3 変分的アプローチは、AR 条件を満たさない $p$-ラプラシアン問題の亜臨界的多項式成長に対しても拡張可能か？
• RQ4 非線形項が指数的に成長する場合、エネルギー関数の制御においてモーザー＝トゥリジンガー不等式は果たす役割は何か？
• RQ5 $N$-ラプラシアン問題において、AR 条件を満たさない状況で、セラミ列の有界性をどのように確認できるか？

主な発見

• 与えられた成長および非線形性の仮定のもとで、エネルギー関数 $J(u) = \frac{1}{N}\int_\Omega |\nabla u|^N dx - \int_\Omega F(x,u) dx$ は、$W_0^{1,N}(\Omega)$ 内で有界なセラミ列をもつ。
• マウンテン・パスレベル $C_M$ は、$C_M < \frac{1}{N}\left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$ を満たし、これはモーザー＝トゥリジンガー不等式の鋭い閾値よりも厳密に小さい。
• セラミ列は弱解 $u$ に弱収束し、$F(x,u_n)$ の $L^1$ における減衰を用いた背理法により $u$ の非自明性が確立される。
• もし $u=0$ ならば、$\|u_n\|^N \to NC_M < \left(\frac{\alpha_N}{\alpha_0}\right)^{N-1}$ となるが、これはマウンテン・パスレベルからの下界と矛盾する。
• この手法は、亜臨界的多項式成長を示す $p$-ラプラシアン方程式に対しても拡張可能であり、先行研究と比較してより弱い成長仮定のもとで存在結果を導く。
• 本手法により、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件の必要性を排除しつつ、臨界的指数的成長領域における非自明解の存在を保証できた。