[論文レビュー] $n$-level density of the low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions

Peng Gao|ArXiv.org|Jun 30, 2008

Analytic Number Theory Research被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、一般化リーマン予想の下で、テスト関数のフーリエ変換のサポートを ∑u_j < 1 から ∑u_j < 2 に拡大することで、ルビンシュタインによる二次ディリクレL関数の低レベル零点のnレベル密度の計算を拡張する。結果として、この拡張された範囲において、カーツ＝サルナック密度予想が確認され、nレベル密度枠組みにおけるシンプレクティック群 Sp による予測と整合することが示された。

ABSTRACT

The Density Conjecture of Katz and Sarnak associates a classical compact group to each reasonable family of $L$-functions. Under the assumption of the Generalized Riemann Hypothesis, Rubinstein computed the $n$-level density of low-lying zeros for the family of quadratic Dirichlet $L$-functions in the case that the Fourier transform $\hat{f}(u)$ of any test function $f$ is supported in the region $\sum^n_{j=1}u_j &lt; 1$ and showed that the result agrees with the Density Conjecture. In this paper, we improve Rubinstein's result on computing the $n$-level density for the Fourier transform $\hat{f}(u)$ being supported in the region $\sum^n_{j=1}u_j &lt; 2$.

研究の動機と目的

• 二次ディリクレL関数の低レベル零点のnレベル密度計算の有効範囲を、∑u_j < 1 の領域を超えて拡張すること。
• 家族の二次ディリクレL関数に対して、拡張されたサポート領域 ∑u_j < 2 でカーツ＝サルナック密度予想を検証すること。
• より一般なテスト関数を扱い、より広いフーリエサポートを持つことで、ルビンシュタインの以前の結果を改善すること。
• GRHの下で、複数の積分とペアリング構造を含む、nレベル密度の厳密な漸近的表現を提供すること。

提案手法

• L関数の明示的公式を用いて、nレベル密度を零点と算術関数の和に結びつける。
• 近似関数等式とヴォロノイ和公式を用いて、テスト関数のトレースから生じる算術和を扱う。
• ペーテルソンのトレース公式とスペクトル理論を用いて、自動形式を介したnレベル密度の寄与を分析する。
• 停留化位相法と積分変換を用いて、振動和を推定し、誤差項を制御する。
• フーリエ変換のサポート構造に基づく再帰的ペアリング論法を用いて、主要項を分解する。
• テスト関数のフーリエ変換を対称的および反対称的成分に分解することで、異なるペアリング構造からの寄与を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト関数のフーリエ変換のサポートが ∑u_j < 2 にあるとき、二次ディリクレL関数の低レベル零点のnレベル密度は、シンプレクティック群 Sp の予測と一致するか？
• RQ2 ルビンシュタインのnレベル密度計算を、∑u_j < 1 の領域を超えて拡張しても、カーツ＝サルナック密度予想との整合性を保てるか？
• RQ3 拡張されたサポート領域におけるnレベル密度の正確な漸近的表現は何か？ また、主要項と誤差項はどのように振る舞うか？
• RQ4 零点のペアリング構造とテスト関数の対称性は、極限密度にどのように影響するか？

主な発見

• テスト関数のフーリエ変換のサポートが ∑_{j=1}^n u_j < 2 にあるとき、二次ディリクレL関数の低レベル零点のnレベル密度は、シンプレクティック群 Sp の予測に収束する。
• 漸近展開の主要項は、すべてのインデックスペアリングの和で与えられ、各ペアは形の積分 ∫_0^∞ u  ĥ_a(u) ĥ_b(u)  du を寄与する。
• 偶数サイズの部分集合 S ⊂ {1,…,n} から生じる追加の補正項があり、補集合の部分集合に関する入れ子の積分と交互和を含む。
• 誤差項は O(X(log log X)^2 log^{n−1}X + (X log^n X)/log log X) で有界であり、X → ∞ のとき主要項より小さい。
• 従来の範囲 ∑u_j < 1 から ∑u_j < 2 にまで拡張された領域で、この家族に対するカーツ＝サルナック密度予想が確認された。