[論文レビュー] n-Level Graph Partitioning

Vitaly Osipov, Peter Sanders|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Advanced Graph Theory Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、1レベルあたり1本のエッジのみを収縮することで、階層間の構造的類似性を保持し、マッチングヒューリスティクスの必要性を回避する、新しいマルチレベルグラフ分割アルゴリズムであるn-Level Graph Partitioning (n-GP) を提案する。効率的な動的データ構造と適応的局所探索終了戦略を用いることで、n-GPは優れた分割品質を達成し、ウォルショウのベンチマークスイートで155件の新記録を樹立した。また、大規模グラフに対しても効率的なスケーリングを実現している。

ABSTRACT

We present a multi-level graph partitioning algorithm based on the extreme idea to contract only a single edge on each level of the hierarchy. This obviates the need for a matching algorithm and promises very good partitioning quality since there are very few changes between two levels. Using an efficient data structure and new flexible ways to break local search improvements early, we obtain an algorithm that scales to large inputs and produces the best known partitioning results for many inputs. For example, in Walshaw's well known benchmark tables we achieve 155 improvements dominating the entries for large graphs.

研究の動機と目的

• 科学計算やネットワーク解析で用いられる大規模グラフの高品質なグラフ分割を達成する課題に対処すること。
• マルチレベル分割において最大重みマッチングの近似を避けるために、1レベルあたり1本のエッジのみを収縮することで、マッチングステップの不要性を実現すること。
• 解決品質を維持または向上させながら、マルチレベル分割における空間的・時間的オーバーヘッドを低減すること。
• nレベル階層における二次的実行時間増加を防ぐための適応的停止基準を設計すること。
• ほぼnレベルの細粒度の階層が、最大マッチングを用いた伝統的な粗縮みと比較して優れた性能を発揮することを示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、1レベルあたり1本のエッジのみを再帰的に収縮することで、階層を構築し、階層間で最小限の構造的変化をもたらすnレベル構造を生成する。
• 各レベルを暗黙的に格納するための動的グラフデータ構造が使用され、二次的空間消費を回避する。
• エッジレーティングを改良し、ノード重みを要因に組み込むことで、バランスの取れた分割を維持する収縮を優先する。
• 局所探索の適応的停止基準が導入され、著しい改善が予想されない場合には早期に探索を停止することで、合計ステップ数を大幅に削減し、品質の劣化を防ぐ。
• 本手法は、順次的グラフ分割器KaSParに実装され、標準的なウォルショウベンチマークで評価されている。
• 線形時間の局所探索変種が使用され、進行度のしきい値に基づいた修正された停止条件が採用されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1レベルあたり1本のエッジのみを収縮するマルチレベルグラフ分割アプローチが、従来のマッチングベースの粗縮みよりも優れた分割品質を達成できるか？
• RQ2 粗縮み段階でマッチングステップが存在しないにもかかわらず、階層の深さが増したことで解決品質が向上するか？
• RQ3 適応的局所探索停止戦略が、nレベル階層における二次的実行時間増加を防げるか？
• RQ4 n-GPの性能は、ウォルショウのベンチマークのような標準ベンチマークにおいて、最先端の分割器と比較してどうか？
• RQ5 ノード重みをエッジレーティングに組み込むことで、1本のエッジ収縮方式における分割品質がどの程度向上するか？

主な発見

• n-GPはウォルショウのベンチマークスイートで155件の新記録を樹立し、大規模グラフのエントリを支配した。
• アルゴリズムは、大規模な科学的・工学的ネットワークを含む、さまざまなグラフタイプの155件のインスタンスで、知られている最良の分割を達成した。
• レベル数の増加にもかかわらず、アルゴリズムは効率的にスケーリングされ、大規模な入力においても、過去の最良システムと同等の実行時間であった。
• 適応的局所探索停止基準により、合計探索ステップ数が著しく削減され、品質を損なうことなく二次的成長を防いだ。
• ノード重みを考慮したエッジレーティングの使用により、特にノード重みが不均一なグラフにおいて、バランスとカット品質が向上した。
• 動的データ構造により、すべてのレベルを明示的に格納することなく、最小限のオーバーヘッドで効率的な格納が可能になった。