[論文レビュー] n-Relative Categories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$n$-fold homotopy theories（すなわち、ホモトピー理論の繰り返し）のホモトピー理論をための組み合わせ的モデルとして、$n$-相対圏を導入する。$n$-simplicial nerve関手を介した随伴により、$n$-相対圏の圏と$ n $-simplicial空間上のRezkモデル構造の間でQuillen同値性を確立し、古典的な単体的神経対応（圏と単体的集合の間の神経的対応）を高次ホモトピー的レベルへ一般化する。

ABSTRACT

We introduce, for every positive integer n, the notion of an n-relative category and show that the category of the small n-relative categories is a model for the homotopy theory of n-fold homotopy theories, i.e. homotopy theories of ... of homotopy theories.

研究の動機と目的

• ホモトピー理論の繰り返し（$n$回）である$n$-foldホモトピー理論のホモトピー理論のための組み合わせ的モデルを構築すること。
• 単体的神経関手を用いたホモトピー理論のモデルに用いられる相対圏の概念を、高次レベルへ一般化し、$n$-foldホモトピー的構造を捉えること。
• $n$-相対圏の圏と$ n $-simplicial空間上のRezkモデル構造との間でQuillen同値性を確立し、古典的な神経的対応を高次元に拡張すること。
• 繰り返しの矢印圏と$n$-相対圏上のGrothendieck構成を用いた、高次ホモトピー理論の体系的枠組みを提供すること。

提案手法

• $n$-相対圏を、弱同値の$n$重のネストされた部分圏を持つ圏として定義し、それぞれが前のものより精錬されており、$n$-fold弱同値の階層を形成する。
• $n$-simplicial神経関手 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$ を定義し、$n$-相対圏を$n$-simplicial空間へ写像する。
• $n$-simplicial空間から$\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ への左随伴 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ を構成し、これを「$n$-単体の相対圏」と呼ぶ。この関手は神経関手のホモトピー的逆元として機能する。
• 各 $T \in \boldsymbol{T}$ に対して、弱同値の$n$レベルを横断するジグザグ写像を捉える矢印圏 $\boldsymbol{C}^T(X,Y)$ を定義する。
• これらの矢印圏をまとめるために、$\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$ のGrothendieck構成 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$ を構成し、これにより弱同値の$n$レベルにわたる高次ホモトピー的データをエンコードする単一の$n$-相対圏を構成する。
• 得られたGrothendieckの拡張を用いて、$n$-foldホモトピー理論のホモトピー理論をモデル化する高次圏的構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対圏の概念を、$n$-foldホモトピー理論（すなわち、ホモトピー理論の繰り返し）をモデル化できるように一般化できるか？
• RQ2 $n$-相対圏の圏と$ n $-simplicial空間上のRezkモデル構造との間にQuillen同値性が存在するか？
• RQ3 $n$-相対圏から$n$-simplicial空間への単体的神経関手が、相対圏の間のホモトピー同値性を誘導するか。さらに、そのホモトピー的逆元が$n$-単体の相対圏関手 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ によって与えられるか？
• RQ4 繰り返しの矢印圏とGrothendieck構成を用いて、高次ホモトピー的構造を組み合わせ的にどのようにエンコードできるか？
• RQ5 有限の全順序集合の族 $\boldsymbol{T}$ は、弱同値の$n$-fold構造を整理する上で果たす役割は何か？

主な発見

• $n$-相対圏の小圏 $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ は、$n$-simplicial空間の圏 $\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$ 上のRezkモデル構造とQuillen同値なモデル構造を備える。
• $n$-simplicial神経関手 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$ はQuillen同値であり、そのホモトピー的逆元は$n$-単体の相対圏関手 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ によって与えられる。
• 神経関手は、$(\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}, \mathbf{Rk})$ と $(\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}, \mathbf{Rk})$ の間で相対圏のホモトピー同値を誘導する。ここで $\mathbf{Rk}$ はRezk同値の部分圏を表す。
• $\boldsymbol{T}$-図式 $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$ の矢印圏に対するGrothendieck構成により、弱同値の$n$レベルにわたるすべてのジグザグ写像をエンコードする$n$-相対圏 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$ が得られる。
• Grothendieck構成により、$\mathbf{Rel}^{n+1}\mathbf{Cat}$ は $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 上の自然な拡張を備え、$n$-foldホモトピー的データをモデル化する高次圏的構造が得られる。
• 本フレームワークは、Thomasonの神経定理と、そのLatchによる簡略化を、高次ホモトピー的レベルへ一般化し、$n$-foldホモトピー理論の体系的かつ組み合わせ的に取り扱いやすいモデルを提供する。