[論文レビュー] Néron models of $Pic^0$ via $Pic^0$

A Chiodo|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、安定還元をもつ曲線のヤコビアンのネロンモデルの新しい幾何的構成を提示する。これは、正則なねじれた曲線モデル上の次数0ラインバンドルのピック導手を用いてなされる。$\varepsilon$-乗根の均一化子によるベースチェンジによって、ネロンモデルは $\mu_\ell$-等変なピック導手の固定部分として実現され、$\pi_g^\ell$ のコンパact化上に普遍的な群スキームを提供し、特殊ファイバーの連結成分について $\bf t$-臨界群による新しい組合せ的解釈をもたらす。

ABSTRACT

We provide a new description of the Néron model of the Jacobian of a smooth curve $C_K$ with stable reduction $C_R$ on a discrete valuation ring $R$ with field of fractions $K$. Instead of the regular semistable model, our approach uses the regular twisted model, a twisted curve in the sense of Abramovich and Vistoli whose Picard functor contains a larger separated subgroup than the usual Picard functor of $C_R$. In this way, after extracting a suitable $l$th root from the uniformizer of $R$, the pullback of the Néron model of the Jacobian represents a Picard functor $Pic^{0,l}$ of line bundles of degree zero on all irreducible components of a twisted curve. Over $R$, the group scheme $Pic^{0,l}$ descends to the Néron model yielding a new geometric interpretation of its points and new combinatorial interpretations of the connected components of its special fibre. Furthermore, by construction, $Pic^{0,l}$ is represented by a universal group scheme $Pic^{0,l}_{g}$ of line bundles of degree zero over a smooth compactification $\overline{M}_g^l$ of $M_g$ where all Néron models of smoothings of stable curves are cast together after base change.

研究の動機と目的

• 離散付値環上での安定還元をもつ曲線のヤコビアンのネロンモデルの新しい幾何的記述を提供すること。
• 古典的な正則な半安定モデルに代えて、正則なねじれたモデルを用いることで、より大きな分離ピック導手を可能にする。
• 均一化子の $\varepsilon$-乗根拡張 $R_\ell$ へのベースチェンジの後、ネロンモデルを $\mu_\ell$-等変なピック導手の固定部分として実現すること。
• $\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$ のコンパクト化上に、すべてのねじれた曲線の成分上の次数0ラインバンドルをパラメトライズする普遍群スキーム ${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$ を構成すること。
• 双対グラフの $\bf t$-臨界群を用いて、ネロンモデルの特殊ファイバーの連結成分の新しい組合せ的解釈を与えること。

提案手法

• アブラモビッチとビスティオリが導入した安定曲線の正則なねじれたモデルを用いて、標準的な $\operatorname{Pic}^0$ よりも大きなピック導手を定義する。
• $\pi$ を $R$ の均一化子とするとき、$R_\ell = R[t]/(t^\ell - \pi)$ を用いたベースチェンジにより、$\ell$-乗根を抽出し、$\mu_\ell$-等変性を可能にする。
• ねじれた曲線上でのピック導手 $\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}$ の構成、これはすべての既約成分上の次数0ラインバンドルをパラメトライズする。
• $\ell$ が $\bf t$-臨界群の指数の倍数であるとき、$R_\ell$ への引き戻しの後、ネロンモデルが $\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}_{R_\ell}$ の $\mu_\ell$-固定部分として特定されることを示す。
• $\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$ 上に、ねじれた曲線のすべての成分上の次数0ラインバンドルをパラメトライズする普遍群スキーム ${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$ を実現する。
• $\mu_\ell$-等変性を用いて、特殊ファイバーを固定部と移動部に分解し、ネロンモデルが固定部 $F_\ell$ として特定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネロンモデルのヤコビアンは、標準的な半安定モデルの代わりにねじれた曲線モデルを用いて幾何的に再構成可能か？
• RQ2 均一化子の $\ell$-乗根によるベースチェンジの後、ねじれた曲線上の次数0ラインバンドルのピック導手は、ネロンモデルとどのように関係するか？
• RQ3 $\bf t$-臨界群が、ネロンモデルが $\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}$ の固定部分として実現される最小の $\ell$ を決定する役割を果たすか？
• RQ4 コンパクト化されたねじれた曲線のモジュライ空間上の普遍群スキームは、安定曲線の滑らか化のすべてのネロンモデルを、ベースチェンジの後実現可能か？
• RQ5 双対グラフにおけるどの組合せ的構造が、ネロンモデルの特殊ファイバーの連結成分を支配するか？

主な発見

• ネロンモデルは、$\ell$ が $\bf t$-臨界群 $\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$ の指数の倍数である限り、$R_\ell$ へのベースチェンジの後、$\operatorname{Pic}^{\bf{0},\ell}_{R_\ell}$ の $\mu_\ell$-固定部分と同型である。
• $\overline{\mathcal{M}}_g^\ell$ 上に存在する普遍群スキーム ${\mathcal{P}ic}^{\bf{0},\ell}_{g}$ は、すべてのねじれた曲線の成分上の次数0ラインバンドルをパラメトライズし、$R$ 上のネロンモデルへの引き戻しで低下する。
• ネロンモデルの特殊ファイバーの連結成分は、$\bf t$-臨界群 $\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$ を用いて組合せ的に解釈され、これは成分群の構造を支配する。
• この構成により、ねじれた曲線上のピック導手の商としてネロンモデルの新しい幾何的実現が得られ、標準的な $J_{C^S}$ 成分への分解よりも洗練された解釈が可能になる。
• コンパクト化ヤコビアン上でのグローバル群構造を避けるために、ねじれたモデルと $\mu_\ell$-等変性を用いて、ネロンモデルを固定点として分離する。
• 結果は、$\ell$ が $\mathcal{K}_{\bf t}(\Gamma_k)$ の指数の倍数である場合に限り成り立つ。これは、Remark 5.7 および Corollary 5.6 に述べられている。