[論文レビュー] n-th discrete KP hierarchy

Andrei K. Svinin|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、擬差分作用素とスペクトルパラメータを用いて、離散KP階層の一般化としてn番目の離散KP階層を導入する。n番目の離散KP階層と、2つの互換性のあるゲージ変換で接続された双無限列の微分KP階層との間の同値性を確立し、そのうちの1つをダーブウ・バッケンドルン変換として同定することで、τ関数と波作用素を通じて離散的および連続的可積分系を結びつける。

ABSTRACT

We report an infinite class of discrete hierarchies which naturally generalize familiar discrete KP one.

研究の動機と目的

• 任意のn ∈ ℕに対して、n番目の離散KP階層の無限クラスへの離散KP階層の一般化を図ること。
• n番目の離散KP階層と、双無限列の微分KP階層との間の対応関係を確立すること。
• n番目の離散KP階層を接続するゲージ変換のうち、1つがダーブウ・バッケンドルン変換であることを示すこと。
• n番目の離散KP階層の波関数およびτ関数が、標準的離散KPと類似した双線形恒等式を満たすことを示すこと。
• 離散的および微分的可積分階層を通じて、多重行列モデル解を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Λをシフト作用素とし、aₖが時間変数tとスペクトルパラメータzに依存する擬差分作用素Q = Λ + a₀zⁿ⁻¹Λ¹⁻ⁿ + a₁z²⁽ⁿ⁻¹⁾Λ¹⁻²ⁿ + … を導入する。
• p = 1,2,… に対して、Lax方程式 zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚQ = [Q₊ᵖⁿ, Q] を導出し、n番目の離散KP階層を定義する。
• 波関数Ψ(t,z) = Wχ(t,z) および双対波関数Ψ*(t,z) = (W⁻¹)ᵀχ*(t,z) を構成する。ここでWはI + D₋に属するドレッシング作用素である。
• 2つの互換性のあるゲージ変換、𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ = Gᵢ𝒬ᵢGᵢ⁻¹ および 𝒬ᵢ₊ₙ = Hᵢ𝒬ᵢHᵢ⁻¹ を用いて、n番目の離散KP階層と微分KP作用素𝒬ᵢ = ŵᵢ∂ŵᵢ⁻¹ の間の同値性を確立する。
• KPフロー下でのGᵢおよびHᵢの進化方程式を導出する：∂ₚGᵢ = (𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ᵖ)₊Gᵢ − Gᵢ(𝒬ᵢᵖ)₊ およびHᵢについても同様。
• 変換𝒬ᵢ ↦ 𝒬ᵢ₊ₙが、固有関数Φᵢ = τᵢ₊ₙ/τᵢ が ∂ₚΦᵢ = (𝒬ᵢᵖ)₊Φᵢ を満たすダーブウ・バッケンドルン変換として同定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散KP階層を任意のnに対して無限クラスのn番目の離散KP階層へ一般化する方法は何か？
• RQ2 n番目の離散KP階層と微分KP階層の双無限列との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ゲージ変換GᵢとHᵢは微分KP作用素𝒬ᵢをどのように接続し、それらの互換性は何か？
• RQ4 n番目の離散KP階層は、ダーブウ・バッケンドルン変換で接続された微分KP系の鎖として解釈可能か？
• RQ5 n番目の離散KP階層のτ関数を支配する双線形恒等式は何か？また、それらは波関数構造とどのように関係するか？

主な発見

• n番目の離散KP階層は、Lax方程式 zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚQ = [Q₊ᵖⁿ, Q] によって定義され、擬差分作用素Qの係数aₖ(i)の無限階層の進化方程式を生成する。
• 波関数Ψ(t,z)は、離散線形系 QΨ = zΨ および zᵖ⁽ⁿ⁻¹⁾∂ₚΨ = Q₊ᵖⁿΨ を満たし、Ψ(t,z) = Wχ(t,z) および χ(t,z) = (zⁱe^{ξ(t,z)})ᵢ∈ℤ である。
• 成分ψᵢ(t,z) = z⁻ⁱΨᵢ(t,z) は、一階微分作用素GᵢおよびHᵢを用いて、Gᵢψᵢ = zψᵢ₊ₙ₋₁ および Hᵢψᵢ = zψᵢ₊ₙ を満たす微分差分方程式を満たす。
• Lax作用素𝒬ᵢ = ŵᵢ∂ŵᵢ⁻¹ は、2つの互換性のあるゲージ変換 𝒬ᵢ₊ₙ₋₁ = Gᵢ𝒬ᵢGᵢ⁻¹ および 𝒬ᵢ₊ₙ = Hᵢ𝒬ᵢHᵢ⁻¹ によって関連づけられ、整合性条件 Gᵢ₊ₙHᵢ = Hᵢ₊ₙ₋₁Gᵢ を満たす。
• 変換𝒬ᵢ ↦ 𝒬ᵢ₊ₙ は、固有関数Φᵢ = τᵢ₊ₙ/τᵢ が ∂ₚΦᵢ = (𝒬ᵢᵖ)₊Φᵢ を満たすダーブウ・バッケンドルン変換として同定される。
• n番目の離散KP階層のτ関数は、標準的離散KPと類似した双線形恒等式を満たし、主な関係はτ関数とそのダーブウ変換版の間の留数および交換子構造を含む。