[論文レビュー] Nagata dimension, quasisymmetric embeddings, and Lipschitz extensions

Urs Lang, Thilo Schlichenmaier|ArXiv.org|Oct 4, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、ファイニット・ナガタ次元をもつ距離空間が、距離木の積へのクェイシス分岐埋め込みを許容し、強いリプシッツ拡張性質を持つことを確立している。この論文は、ナガタ次元 ≤n である任意の距離空間が、n+1 個の距離木の積へバイリプシッツ埋め込みを許容することを証明しており、また、完全な距離空間がファイニット・ナガタ次元をもつとき、それがすべての m=0,…,n に対してリプシッツ m-連結であるための必要十分条件であることを示している。

ABSTRACT

We discuss a variation of Gromov's notion of asymptotic dimension that was introduced and named Nagata dimension by Assouad. The Nagata dimension turns out to be a quasisymmetry invariant of metric spaces. The class of metric spaces with finite Nagata dimension includes in particular all doubling spaces, metric trees, euclidean buildings, and homogeneous or pinched negatively curved Hadamard manifolds. Among others, we prove a quasisymmetric embedding theorem for spaces with finite Nagata dimension in the spirit of theorems of Assouad and Dranishnikov, and we characterize absolute Lipschitz retracts of finite Nagata dimension.

研究の動機と目的

• 距離空間におけるバイリプシッツおよびクェイシス分岐性の不変量としてのナガタ次元の役割を調査すること。
• ファイニット・ナガタ次元をもつ距離空間が、距離木の積へのクェイシス分岐埋め込みを許容するための条件を確立すること。
• リプシッツ接続性の性質を通じて、ファイニット・ナガタ次元をもつ完全な距離空間を絶対的リプシッツリトラクトとして特徴付けること。
• ファイニット・ナガタ次元の条件下で、部分集合からのリプシッツ写像を全体空間へ拡張すること。
• ナガタ次元と漸近次元の関係を比較し、さまざまな写像における不変性の性質を明確にすること。

提案手法

• 任意の s>0 に対して、s-多重度が n+1 以下である cs-有界被覆が存在するような整数 n の下界としてナガタ次元を定義する。
• クェイシス分岐写像を用いてナガタ次元がクェイシス分岐性の下で不変であることを示し、それが漸近次元よりも強い不変量であることを示す。
• 反復的被覆および分割技術を用いて、ファイニット・ナガタ次元をもつ空間を n+1 個の距離木の積へバイリプシッツ埋め込みする。
• 単体的複体と区分的線形拡張を用いたリトラクション写像を構築することで、リプシッツ拡張の概念を適用する。
• リプシッツ接続性定数と制御された被覆族を用いて、拡張写像のリプシッツ定数を評価する。
• 完全な距離空間がファイニット・ナガタ次元をもつとき、絶対的リプシッツリトラクト性と m=0,…,n に対するリプシッツ m-連結性との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイニット・ナガタ次元をもつ距離空間が、距離木の積へのクェイシス分岐埋め込みを許容する条件は何か？
• RQ2 ナガタ次元は漸近次元とどのように関係し、クェイシス分岐写像の下でどのような不変性を示すか？
• RQ3 ファイニット・ナガタ次元をもつ完全な距離空間が絶対的リプシッツリトラクトであるための特徴は何か？
• RQ4 ファイニット・ナガタ次元をもつ距離空間の部分集合からのリプシッツ写像は、全体空間へ、制御されたリプシッツ定数で拡張可能か？
• RQ5 ナガタ次元と距離空間のリプシッツ接続性の関係は何か？

主な発見

• ナガタ次元 ≤n をもつ任意の距離空間は、n+1 個の距離木の積へバイリプシッツ埋め込みを許容する。
• ナガタ次元はクェイシス分岐ホメオモルフィズムの下で不変であり、これは漸近次元よりも強い不変量であることを示す。
• ナガタ次元 ≤n をもつ完全な距離空間が絶対的リプシッツリトラクトであるための必要十分条件は、すべての m=0,1,…,n に対してリプシッツ m-連結であることである。
• ファイニット・ナガタ次元をもつ空間の部分集合からのリプシッツ写像は、次元と元の写像の定数にのみ依存するリプシッツ定数で、全体空間へ拡張可能である。
• ダブリング距離空間、距離木、ユークリッドビルディング、および同次的ハダール多様体は、すべてファイニット・ナガタ次元をもつ。
• n 個の非自明な距離木の積はナガタ次元がちょうど n であり、同様にランク n のユークリッドビルディングに対しても同様の性質が成り立つ。