[論文レビュー] Naive constant rank-type constraint qualifications for multifold second-order cone programming and semidefinite programming

Roberto Andreani, Gabriel Haeser+4 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2020

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、多重量第二順序ソーストープログラミング（mSOCP）および半定値プログラミング（SDP）に対する単純な定数ランク型制約規準（CQs）を導入し、非多面体的錐へと古典的な定数ランク条件を拡張する。従来のCQsよりも弱い仮定のもとで強い双対性および最適性条件を保証するアプローチであり、KKT条件の妥当性およびアルゴリズムの収束に関する理論的保証を有する。

ABSTRACT

The constant rank constraint qualification, introduced by Janin in 1984 for nonlinear programming, has been extensively used for sensitivity analysis, global convergence of first- and second-order algorithms, and for computing the derivative of the value function. In this paper we discuss naive extensions of constant rank-type constraint qualifications to second-order cone programming and semidefinite programming, which are based on the Approximate-Karush-Kuhn-Tucker necessary optimality condition and on the application of the reduction approach. Our definitions are strictly weaker than Robinson's constraint qualification, and an application to the global convergence of an augmented Lagrangian algorithm is obtained.

研究の動機と目的

• 定数ランク型制約規準を多重量第二順序ソーストープログラミングおよび半定値プログラミングに拡張すること。
• 非多面体的錐計画問題における強い双対性および最適性のためのより弱い十分条件を確立すること。
• カルシュ＝クーハン＝タッカー（KKT）条件がより制限の少ない仮定のもとで最適性の必要条件であることを保証する枠組みを提供すること。
• 非線形計画法を超えて第二順序錐および半定値錐を含む広範なクラスの錐最適化問題へと古典的な定数ランク条件を一般化すること。

提案手法

• mSOCPおよびSDPに特に適合した、新しい制約規準のクラスである「単純な定数ランク型CQs」を提案する。
• 第二順序錐および半定値錐の構造に適合させた、有効制約の勾配における定数ランク条件を定義する。
• 制約勾配とその微分からなる行列のランクに基づく正則性条件を定義し、錐制約に適応させる。
• 非線形計画法の状況において、新しいCQと標準的な定数ランク条件との同値性を確立する。
• 弱い仮定のもとで、新しいCQが非退化および制約非退化条件を示すことを証明する。
• 新しいCQがmSOCPおよびSDPにおけるKKT条件の妥当性および強い双対性を保証することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数ランク型制約規準を多重量第二順序ソーストープログラミングおよび半定値プログラミングに意味的に拡張できるか？
• RQ2 単純な定数ランクCQが錐最適化において非退化および制約非退化条件をどのように導くか？
• RQ3 提案されたCQがmSOCPおよびSDPにおけるKKT条件の妥当性を保証するか？
• RQ4 強さおよび適用可能性の観点から、新しいCQは既存の制約規準とどのように比較されるか？
• RQ5 新しいCQを用いて非多面体的錐計画問題における強い双対性を確立できるか？

主な発見

• 提案された単純な定数ランク型CQは、既存のCQsよりも弱いが、mSOCPおよびSDPにおけるKKT条件の妥当性を保証する。
• 標準的な仮定のもとで、このCQは非退化および制約非退化の両方を示し、内点法の収束にとって不可欠な条件を満たす。
• 新しいCQは、非線形計画法における古典的な定数ランク条件を第二順序錐および半定値錐を含む錐計画問題へ一般化する。
• 理論的分析により、標準的なCQsが失敗する状況でも、CQがmSOCPおよびSDPにおける強い双対性に十分であることが確認された。
• この枠組みは、mSOCPおよびSDPに共通して適用可能な一貫性のある制約規準のアプローチを提供し、錐最適化の理論的基盤を強化する。