[論文レビュー] Nakayama categories and groupoid quantization

Fabio Trova|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ナカヤマ圏の文脈において、量子化関手 Sum の厳密な、双対可能性に基づく構成を提供し、ナカヤマ同型写像が随伴データと群oidsの基数によるスケーリングから自然に生じることを示している。特に関数体の特徴が 0 の場合、前ナカヤマ写像を核のサイズの逆数でスケーリングすることにより、Sum の関手的性質が回復され、標準的なプルプッシュ構成における関手的でない性質が解消される。

ABSTRACT

We provide a precise description, albeit in the situation of standard categories, of the quantization functor Sum proposed by D.S. Freed, M.J. Hopkins, J. Lurie, and C. Teleman in a way enough abstract and flexible to suggest that an extension of the construction to the general context of higher categories should indeed be possible. Our method is in fact based primarily on dualizability and adjunction data, and is well suited for the homotopical setting. The construction also sheds light on the need of certain rescaling automorphisms, and in particular on the nature and properties of the Nakayama isomorphism.

研究の動機と目的

• 拡張型トポロジカル量子場理論の文脈において、量子化関手 Sum の詳細な圏論的構成を提供すること。
• 左随伴と右随伴の間の任意の同型写像を事前仮定せず、ナカヤマ同型写像を双対可能性と随伴データから導出すること。
• 特にナカヤマ同型写像を含むスケーリング自己同型の役割が、Sum の構成における関手的性質を保証する仕組みを明確にすること。
• 特徴が 0 の場合、前ナカヤマ写像の関手的でない性質が、群oidsの基数の逆数によるスケーリングによって是正されることを確立すること。
• 標準的な Dijkgraaf-Witten 型 TQFT が、この枠組みから自然に生じ、アンビデクストリティと双対性が仮定ではなく、導出された性質であることを示すこと。

提案手法

• ベック＝シェヴァレー条件の下で双対可能性とメイトを用い、プルバック関手の右随伴と左随伴の間の比較写像 γ_f を定義する。
• 双対可能な圏で成り立つ射影公式を用いて、自然変換 f_* → f_! として前ナカヤマ写像 γ_f を構成する。
• 合成可能な写像におけるファイバーのサイズが非自明であることによる、γ_f の関手的でない性質の障害を同定する。
• δ_f^{-1} で γ_f をスケーリングする。ここで δ_f は、f が自己同型群上で誘導する |K_x|（核のサイズ）による乗法である。
• δ_f が可逆であるような対称モノイダル圏で双対を持つナカヤマ圏を定義し、整合的な量子化関手の存在を保証する。
• 本構成を本質的に有限な群oidsに適用し、群代数上のテンソル積と Hom 空間を用いて f_!、f_*、およびナカヤマ同型写像の明示的公式を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左随伴と右随伴の間の事前仮定された同型写像を仮定せずに、量子化関手 Sum をどのように構成できるか？
• RQ2 拡張型 TQFT の文脈において、ナカヤマ同型写像の起源と性質は何か？
• RQ3 標準的なプルプッシュ構成がなぜ関手的でないのか、そしてその失敗はどのように是正できるか？
• RQ4 前ナカヤマ写像のスケーリングが、いつ関手的性質を回復するのか？
• RQ5 結果が、誘導とコ誘導を含む有限群の表現論における既知の構成にどのように特殊化されるか？

主な発見

• 前ナカヤマ写像 γ_f は双対可能な圏において適切に定義され、射影公式を満たすが、ファイバーのサイズが非自明なため関手的でない。
• 特徴が 0 の場合、γ_f の合成における乖離はスカラー倍にすぎず、δ_f^{-1} によるスケーリングで関手的性質が回復される。
• スケーリング係数 δ_f は、各和成分上で |K_x|（f が自己同型群上で誘導する核）による乗法である。
• ナカヤマ同型写像は、スケーリングされた写像と随伴データの合成として得られ、群表現論における標準的なものと自然同型である。
• 特徴が 0 の体上の有限次元ベクトル空間の圏は、すべての写像 f に対して δ_f が可逆であるため、ナカヤマ圏である。
• 本構成により、既知の結果が回復される：有限群の自明な表現に対して、ナカヤマ同型写像は [Mo1] における標準的なものと一致し、誘導は制限の両方の随伴である。