[論文レビュー] Nambu-Dirac Structures on Lie Algebroids

Aı̈ssa Wade|ArXiv.org|Apr 25, 2002

Advanced Topics in Algebra被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Lie代数的コホロロジーから導かれるVinogradov括弧を用いて、Nambu-Poisson構造をLie代数的群へ拡張し、Nambu-Poisson構造と標準的Dirac構造を統合する高次Dirac構造を導入する。主な貢献は、Lie代数的群上でのNambu-Poisson構造（$ p \geq 3 $）が特定の条件下で分解可能であることを示し、すべてのこのような構造が$ p $次Dirac構造を誘導すること、そしてその結果、許容関数の空間にNambu-Poisson括弧が誘導されることを証明することにある。

ABSTRACT

The theory of Nambu-Poisson structures on manifolds is extended to the context of Lie algebroids, in a natural way based on the Vinogradov bracket associated with Lie algebroid cohomology. We show that, under certain assumptions, any Nambu-Poisson structure on a Lie algebroid is decomposable.Also, we introduce the concept of a higher order Dirac structure on a Lie algebroid. This allows to describe both Nambu-Poisson structures on Lie algebroids and Dirac structures on manifolds in the same setting.

研究の動機と目的

• 多様体上のNambu-Poisson構造を、より広範なLie代数的群の枠組みへ一般化すること。
• 高次Dirac構造を用いて、Nambu-Poisson構造とDirac構造の記述を統一するフレームワークを構築すること。
• Lie代数的群上での$ p \geq 2 $次のNambu-Poisson構造と$ p $次Dirac構造との間の対応関係を確立すること。
• Dirac構造が$ p $次である場合、その許容関数の空間がNambu-Poisson括弧を誘導することを証明すること。

提案手法

• Lie代数的群微分 $ d_E $ を用いて、$ \Gamma(\Lambda^\bullet E^*) $ の次数付き自己準同型の空間にVinogradov括弧を定義する。
• $ \sigma $ による写像を介して、Vinogradov括弧を $ \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) $ 上の括弧 $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ に持ち上げる。
• Lie代数的群 $ E $ 上での$ p $次Nambu-Poisson構造を、$ d_E $ と内積作用とを含む特定のコホロロジー的恒等式を満たす $ \Pi \in \Gamma(\Lambda^p E) $ の断片として定義する。
• 双対性による非退化性条件を満たし、$ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括弧に関して閉じた部分バンドル $ L \subset E \times \Lambda^{p-1}E^* $ として、$ p $次Dirac構造の概念を導入する。
• $ d_E f|_{L \cap E} = 0 $ の条件により $ L $-許容関数を特徴付け、関連する $ (p-1) $-ベクトル場を用いてその関数上に歪対称括弧を定義する。
• 誘導された括弧が基本的恒等式を満たすことを証明し、それによって $ L $-許容関数上でNambu-Poisson構造が形成されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上のNambu-Poisson構造は、どのように自然にLie代数的群の文脈へ拡張できるか？
• RQ2 Vinogradov括弧は、Lie代数的群の文脈において、Nambu-Poisson構造とDirac構造を統合する役割を果たすか？
• RQ3 Lie代数的群上での$ p \geq 3 $次のNambu-Poisson構造が分解可能となる条件は何か？
• RQ4 高次Dirac構造をLie代数的群上に定義し、それらが許容関数上にNambu-Poisson括弧を誘導できるか？
• RQ5 高次$ p $次のDirac構造の特徴的foliationは、元のNambu-Poisson構造の可積分性および還元性とどのように関係するか？

主な発見

• Lie代数的群 $ E $ 上の任意の$ p \geq 3 $次のNambu-Poisson構造 $ \Pi $ は、$ \Gamma(E^*) $ が $ d_E f $ の形の要素によって生成される限り、分解可能である。
• $ \sigma: \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) \to \mathrm{End}(\Gamma(\Lambda^\bullet E^*)) $ を $ \sigma(X,\alpha) = i_X + m(\alpha) $ で定義すると、これは $ C^\infty $-線形であり、Vinogradov括弧と導かれた括弧を交換させる。
• 括弧 $ \lfloor\!\lfloor (X,\alpha), (Y,\beta) \rfloor\!\rfloor_E = ([X,Y]_E, \mathcal{L}^E_X \beta - i_Y d_E \alpha) $ は、$ \Gamma(E \oplus \Lambda^\bullet E^*) $ にLie代数的コホロロジーと整合するLeibniz代数構造を導入する。
• Lie代数的群 $ E $ 上の$ p \geq 2 $次のNambu-Poisson構造は、$ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括弧に関して閉じた最大的歪対称部分バンドル $ L \subset E \times \Lambda^{p-1}E^* $ として、$ p $次Dirac構造を誘導する。
• $ d_E f|_{L \cap E} = 0 $ を満たす $ L $-許容関数の集合は乗法に関して閉じており、well-definedな$ p $次Nambu-Poisson括弧を誘導する。
• $ L $-許容関数上での誘導されたNambu-Poisson括弧の基本的恒等式は、$ L $ が $ \lfloor\!\lfloor \cdot, \cdot \rfloor\!\rfloor_E $ 括弧に関して閉じていることと、Lie代数的群作用のLeibniz性質に由来する。