[論文レビュー] Nambu dynamics and its noncanonical Hamiltonian representation in many degrees of freedom systems

A. Horikoshi|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、多自由度系においてNambu力学が基本的恒等式の破れにより失敗する場合でも、非正則ハミルトニアン力学が、時間発展演算を一貫して保存できることを示している。1つのハミルトニアンからNambu括弧を用いて非正則ポアソン括弧を構成することで、ポアソン行列が自由度間で独立している場合、一貫性に不可欠なジャコビ恒等式が依然として成立することを示している。これは、半古典的2振動子モデルで確認された。

ABSTRACT

Nambu dynamics is a generalized Hamiltonian dynamics of more than two variables, whose time evolutions are given by the Nambu bracket, a generalization of the canonical Poisson bracket. Nambu dynamics can always be represented in the form of noncanonical Hamiltonian dynamics by defining the noncanonical Poisson bracket by means of the Nambu bracket. For the time evolution to be consistent, the Nambu bracket must satisfy the fundamental identity, while the noncanonical Poisson bracket must satisfy the Jacobi identity. However, in many degrees of freedom systems, it is well known that the fundamental identity does not hold. In the present paper we show that, even if the fundamental identity is violated, the Jacobi identity for the corresponding noncanonical Hamiltonian dynamics could hold. As an example, we evaluate these identities for a semiclassical system of two coupled oscillators.

研究の動機と目的

• 多自由度系においてNambu力学が基本的恒等式を破る場合でも、非正則ハミルトニアン力学で一貫性のある時間発展演算が回復可能かどうかを調査すること。
• Nambu括弧から導かれる非正則ポアソン括弧に対してジャコビ恒等式が成立する数学的条件を導出すること。
• 2つの結合振動子を有する半古典的モデルを用いて、この一貫性の回復を実証すること。
• 非正則表現における2つのNambuハミルトニアンの役割が、ジャコビ恒等式の成立に与える影響を明確にすること。

提案手法

• n個の結合自由度系における3変数のNambu括弧を、3次元レヴィチビタ記号とヤコビアン行列式を用いて定義する。
• 1つのNambuハミルトニアン（GまたはH）から導かれるポアソン行列を用いて、非正則ポアソン括弧を構成する。Jij = εijk ∂G/∂xk を用いる。
• ジャコビ恒等式が成立するための条件を導出する：α ≠ β のとき ∂Jα_ij /∂xβ_k = 0 であり、異なる自由度のポアソン行列が独立していることを保証する。
• ハミルトニアン H（結合あり）と G（分離済み）を有する半古典的2振動子系に形式的枠組みを適用し、量子演算子の期待値を用いる。
• 特定の関数に対して {{A,B,C},D,E} − [巡回項の和] を計算することで、Nambu力学における基本的恒等式の破れを確認し、非ゼロの結果を得る。
• 非正則表現における2つの場合でジャコビ恒等式を検証する：Gを用いた場合（条件を満たし、恒等式が成立）、Hを用いた場合（条件を破り、恒等式が失敗）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多自由度系においてNambu力学が基本的恒等式を破る場合でも、非正則ハミルトニアン力学で一貫性のある時間発展演算を回復できるか？
• RQ2 非正則表現におけるNambu力学のジャコビ恒等式が成立するためのポアソン行列の条件は何か？
• RQ3 非正則表現において、ポアソン行列を定義するハミルトニアンの選択が、ジャコビ恒等式の有効性に与える影響は何か？
• RQ4 結合自由度を有する系において、分離済みのハミルトニアンからポアソン行列を構成した場合、非正則ポアソン括弧は依然としてジャコビ恒等式を満たすか？
• RQ5 Nambu力学における基本的恒等式の破れが、実際の時間発展演算に与える影響は何か？ そして、非正則表現によってこれを是正できるか？

主な発見

• 2振動子系においてNambu力学の基本的恒等式が破れている：(A,B,C) = (x²₁, x²₂, x¹₂) および (D,E) = (H,G) のとき、式(3)の左辺は0であるが、右辺は −λ であるため、一貫性が破れている。
• 分離済みハミルトニアン G を用いて定義された非正則ポアソン括弧は、ジャコビ恒等式を満たす。なぜなら、ポアソン行列 Jα_ij がそれぞれの自由度にのみ依存しており、α ≠ β のとき ∂Jα_ij /∂xβ_k = 0 を満たすからである。
• 一方、結合ハミルトニアン H を用いて定義された非正則ポアソン括弧は、ジャコビ恒等式を破る。なぜなら、ポアソン行列 ˜Jα_ij が他の自由度の変数に依存しており、独立性条件が破れているからである。
• (A,B) = (x¹₂, x²₂) および C = H の場合、ジャコビ恒等式の左辺は0であるが、右辺は −λm₁ω²₁x²₁ であるため、恒等式の破れが確認された。
• Liouvilleの定理は両方の非正則表現で成立しており、一方のケースでジャコビ恒等式が破れても、位相空間体積は保存されている。
• 本研究は、ポアソン行列が分離済みハミルトニアンから構成される限り、元のNambu力学が一貫性を持たない場合でも、非正則表現において一貫性のある時間発展演算を回復できることを示している。