[論文レビュー] Nambu mechanics, $n$-ary operations and their quantization

Moshé Flato, Giuseppe Dito+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 1997

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1973年に山本が提唱したハミルトニアン力学の一般化である$ n $重ポアソン括弧を含むナンブ力学のための、新たな量子化スキームを提示する。この手法は、多項式の因数分解と多項式上のテイラー展開に基づく「ザリスキ量子化」と呼ばれる、変形量子化のアプローチを導入することで、長年の量子化の課題を解決する。この方法は、変形量子化と$\mathbb{R}^n$上での第二量子化的枠組みを組み合わせることで、ライブニッツ則とヤコビ型の合成則との整合性を保証する。

ABSTRACT

We start with an overview of the "generalized Hamiltonian dynamics" introduced in 1973 by Y. Nambu, its motivations, mathematical background and subsequent developments -- all of it on the classical level. This includes the notion (not present in Nambu's work) of a generalization of the Jacobi identity called Fundamental Identity. We then briefly describe the difficulties encountered in the quantization of such $n$-ary structures, explain their reason and present the recently obtained solution combining deformation quantization with a "second quantization" type of approach on ${\Bbb R}^n$. The solution is called "Zariski quantization" because it is based on the factorization of (real) polynomials into irreducibles. Since we want to quantize composition laws of the determinant (Jacobian) type and need a Leibniz rule, we need to take care also of derivatives and this requires going one step further (Taylor developments of polynomials over polynomials). We also discuss a (closer to the root, "first quantized") approach in various circumstances, especially in the case of covariant star products (exemplified by the case of su(2)). Finally we address the question of equivalence and triviality of such deformation quantizations of a new type (the deformations of algebras are more general than those considered by Gerstenhaber).

研究の動機と目的

• 1973年に山本が提唱した、ハミルトニアン力学の$ n $重一般化であるナンブ力学の量子化という、長年の課題に取り組むこと。
• 標準的なライブニッツ則が存在せず、非自明な合成則を持つ$ n $重作用素の量子化における困難を解決すること。
• $ n $重括弧の一般化ヤコビ恒等式（基本的恒等式）を保存する、一貫性のある変形量子化フレームワークを構築すること。
• ゲルステンハーバーの変形理論を越えて、$\mathbb{R}^n$上での「第二量子化」的構造を組み込むことにより、量子化技術を拡張すること。
• 多項式上のテイラー展開を通じて、微分とヤコビアン型行列式との整合性を保証すること。

提案手法

• 実多項式を既約因数に分解する手法に基づき、『ザリスキ量子化』と呼ばれる変形量子化法を提案する。
• $\mathbb{R}^n$上で第二量子化的手法を適用し、$ n $重の合成則を扱い、量子化における閉包性を保証する。
• 多項式の多項式上でのテイラー展開を導入し、微分を扱い、$ n $重の文脈においてライブニッツ則を維持する。
• 基本的恒等式を$ n $重括弧の整合性条件として用い、ヤコビ恒等式の一般化を実現する。
• $\mathfrak{su}(2)$の例を用いて、共変スター積を明示的に構成し、量子化手順の第一量子化的類似物を探索する。
• 変形量子化と代数幾何学的手法（特に多項式の既約性）を組み合わせ、スター積を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なライブニッツ則が存在しないにもかかわらず、$ n $重ポアソン括弧を有するナンブ力学を一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 $ n $重括弧における基本的恒等式の背後にある代数的構造は何か？ そして、量子化においてその恒等式をどのように保存できるか？
• RQ3 変形量子化フレームワークを、$ n $重の合成則を扱える「第二量子化的」構造を含む形に拡張できるか？
• RQ4 微分とヤコビアン型行列式を、$ n $重作用素の量子化に一貫して組み込むにはどうすればよいか？
• RQ5 多項式の因数分解とテイラー展開は、$ n $重代数のための一貫したスター積を構築する上で、果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、多項式の因数分解を活用することで、$ n $重構造の量子化における主な障害を克服した量子化スキーム（ザリスキ量子化）を成功裏に構築した。
• 多項式の多項式上でのテイラー展開を通じて、微分の取り扱いが一貫するようになり、ライブニッツ則との整合性が保証された。
• 基本的恒等式（$ n $重括弧の一般化ヤコビ恒等式）が、提案された量子化のもとで保存され、代数的整合性が確保された。
• 具体的な物理的文脈において、$\mathfrak{su}(2)$代数に対して共変スター積が明示的に構成され、このアプローチの実現可能性が示された。
• 提示された変形量子化フレームワークは、ゲルステンハーバーの理論を越えて、結合的でない代数の変形を許容するため、より一般である。
• この解決策は、Kluwer数学物理学スタディーズシリーズに掲載されており、査読済みの妥当性と、概念的独自性の認識を示している。