[論文レビュー] Nanoptera and Stokes Curves in the 2-Periodic Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou Equation

Christopher J. Lustri|arXiv (Cornell University)|May 17, 2019

Nonlinear Photonic Systems参考文献 56被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、微小質量比 δ ≪ 1 を持つ2周期的フェルミ・パスタ・ユリウム・ツィンクー格子におけるナノプテラ—指数的になく、振動的尾部を伴う非局所的ソリトン波—を指数的漸近解析を用いて分析する。これらの振動は、複素平面における複素ストークス曲線を crosses する際にストークス現象によって生じることを示し、それらの振動が相殺する質量比を予測する漸近的条件を導出する。結果は数値的に検証され、近似された一次近似解を有する系へ指数的漸近法を拡張する。

ABSTRACT

This work presents asymptotic solutions to a singularly-perturbed, period-2 FPUT lattice and uses exponential asymptotics to examine `nanoptera', which are nonlocal solitary waves with constant-amplitude, exponentially small wave trains which appear behind the wave front. Using an exponential asymptotic approach, this work isolates the exponentially small oscillations, and demonstrates that they appear as special curves in the analytically-continued solution, known as `Stokes curves' are crossed. By isolating these the asymptotic form of these oscillations, it is shown that there are special mass ratios which cause the oscillations to vanish, producing localized solitary-wave solutions. The asymptotic predictions are validated through comparison with numerical simulations.

研究の動機と目的

• 微小質量比を有するダイアトミック FPUT 棒格子におけるナノプテラ—指数的になく、振動的尾部を伴うソリトン波—の起源と構造を理解すること。
• 複素平面におけるストークス現象を通じて、遠方領域に指数的になく、振動的成分がどのように出現するかを調査すること。
• これらの振動が消滅する条件を導出し、完全に局在化したソリトン波が得られる質量比を予測する漸近的条件を導出すること。
• 格子力学の数値シミュレーションを通じて、漸近的予測の妥当性を検証すること。
• 一次近似解が正確ではなく、長波長近似によって得られる近似解を有する系へ、指数的漸近法を拡張すること。

提案手法

• 微小質量比 δ ≪ 1 を持つ特異摂動的・2周期的 FPUT 棒格子に指数的漸近法を適用する。
• 一次近似解の解析接続を用いて、複素平面における特異点とストークス曲線を同定する。
• 遅延項と支配的バランスの方法を用いて、指数的になく、振動的成分の漸近的表現を導出する。
• 振動の出現が、異なるストークス曲線を crosses する際に発生するスイッチング現象であることを特定する。
• 自作の時間積分スキームを用いて、数値的シミュレーションと比較し、振動振幅およびナノプテロン非存在質量比の漸近的予測を検証する。
• 先行研究から得られたベーレ ansatz フレームワークと長波長近似を用いて、一次近似の振る舞いをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2周期的 FPUT 棒格子におけるサブソンイック・トランスレーション波の遠方領域に、指数的になく、振動的成分がどのように出現するのか。
• RQ2 この系におけるナノプテラの出現に、ストークス現象が果たす役割は何か。
• RQ3 振動的尾部が消滅し、完全に局在化したソリトン波が得られる質量比を予測する漸近的条件を導出可能か。
• RQ4 振動振幅およびナノプテロン非存在質量比の漸近的予測は、数値的シミュレーションとどの程度一致するか。
• RQ5 正確な一次近似解ではなく、近似された一次近似解を有する系へ、指数的漸近法をどの程度適用可能か。

主な発見

• ナノプテラに現れる指数的になく、振動的成分は、複素平面におけるストークス曲線を crosses する際に生じるストークス現象に起因する。
• 遠方領域において有効な、振動振幅の漸近的表現が導出され、式 (51) で与えられる。
• 振動の相殺に必要な臨界条件—式 (58) — が導出され、ナノプテラが完全に局在化したソリトン波に変わる質量比を予測する。
• 数値的シミュレーションにより漸近的予測が検証された：K = 2 から 6 の範囲で、ナノプテロン非存在解の計算された δ 値は、漸近的予測とよく一致しており、相対誤差は10%未満であった。
• この相殺条件は、異なるストークス曲線を crosses するたびに活性化される2つの異なる指数的になく、振動的波動列の破壊的干渉に起因する。
• 本手法は、片側（不安定な準安定）および両側（真に安定）のナノプテロン族の両方において局在化解を予測でき、相殺条件が波の対称性に依存しないことを示した。