[論文レビュー] Nanostructures imaging via numerical solution of a 3-d inverse scattering problem without the phase information

Michael V. Klibanov, Loc H. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、位相情報がなく、散乱波場の振幅のみを用いて三次元逆散乱イメージングによるナノ構造および生物学的細胞の高精度な数値的手法を提示する。波長未満のスケール（0.32λ_min）で超解像イメージングを実現し、両手法が高品質な再構成を達成することを示しており、一方の手法では、グローバル収束型反復手法を用いたイメージの精緻化が可能な正確な位相回復を可能としている。

ABSTRACT

Inverse scattering problems without the phase information arise in imaging of nanostructures whose sizes are hundreds of nanometers as well as in imaging of biological cells. The governing equation is the 3-d generalized Helmholtz equation with the unknown coefficient, which represents the spatially distributed dielectric constant. It is assumed that only the modulus of the complex valued wave field is measured on a frequency range. The phase is not measured. Two rigorous numerical methods are tested and their performances are compared for realistic ranges of parameters.

研究の動機と目的

• 散乱波場の振幅のみが測定可能であり、位相情報が得られない状況において、ナノ構造および生物学的細胞をどのようにイメージングできるかという課題に取り組む。
• 一般化されたヘルムホルツ方程式に従う3次元位相なし逆散乱問題を解く2つの厳密な数値的手法の開発および比較を行う。
• ナノイメージングおよび細胞イメージングに実用的であるとされる周波数範囲（k = 60–90）において、これらの手法の性能を評価する。
• 振幅のみのデータから超解像イメージングが可能かどうかを検討し、2段階アプローチにより正確な対比再構成を実現する可能性を検討する。
• 全波場の位相を回復することで、今後の高精度イメージングの基盤を築く。これにより、グローバル収束型係数逆問題手法の適用が可能になる。

提案手法

• 最初の手法はボーン近似を用いて逆散乱問題を線形化し、一般化されたヘルムホルツ方程式の線形化されたバージョンを解くことで、誘電率対比を再構成する。
• 2番目の手法はKlibanovとRomanov（2018）に基づき、主な再構成ステップで線形化を回避し、代わりに波場の位相と振幅を回復する逆運動学的問題を解く。
• 両手法とも、有限で現実的な次元なし周波数kの値に対しても、空間的分布の誘電率定数β(x)を再構成するために逆ラドン変換を最終的に適用する。
• 前方問題は、ボーン近似を仮定しないLippmann-Schwinger積分方程式を用いて解き、合成データを生成する。
• 2番目の手法では、位相関数τ(x, x₀)が正確に再構成され、その後にグローバル収束型係数逆問題手法の適用が可能になる。
• 2段階のイメージング戦略を提案する：まず高精度で波場u(x, x₀, k)を再構成し、次にそれをもとに、[2] や [13] に示されるようなグローバル収束型手法を用いてβ(x)を高精度で再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相情報がなく、振幅のみのデータからナノ構造および生物学的細胞の正確な3次元イメージングが可能か？
• RQ2 k = 60–90という現実的な周波数パrameter下で、ボーン近似に基づく手法と非線形化手法の性能特性はどのように比較できるか？
• RQ3 インクリージョン間隔が最小波長の半分未満（0.32λ_min < λ_min/2）である場合でも、超解像イメージングが可能か？
• RQ4 振幅のみのデータから散乱波場の位相を正確に回復できるか？これにより、高精度な係数逆問題が可能になるか？
• RQ5 ラドン変換の理論的範囲から著しく逸脱する非理想的なデータに対しても、逆ラドン変換は効果的に適用可能か？

主な発見

• 非線形化された逆運動学的問題（問題1）を解く手法の方が、ボーン近似手法よりも高品質な画像を生成しており、特に微細構造の解像に優れている。
• ボーン近似は理論的には大きなkに対して有効ではないが、k = 90のときにはk = 60のときよりもわずかに優れた画像を生成しており、現実的な条件下でも頑健であることが示された。
• 超解像が観測された：0.025 μm（0.32λ_min）の間隔で分離された2つのインクリージョンが、λ_min/2未満であるにもかかわらず解像された。
• ラドン変換の理論的範囲から著しく逸脱するデータ（(b)と(e)、(g)を比較して確認）であっても、逆ラドン変換は依然として高品質な再構成を生成した。
• 非線形化手法では、位相関数τ(x, x₀)が正確に回復されており、これにより将来的にグローバル収束型係数逆問題手法を用いた対比再構成の向上が可能になる。
• 2段階のイメージング戦略は実現可能である：まず高精度で波場u(x, x₀, k)を再構成し、次にそれを入力としてグローバル収束型手法を用いてβ(x)を高精度で再構成する。