[論文レビュー] Narayana polynomials and some generalizations

Ricky X. F. Chen, Christian M. Reidys|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、色付きラベル付き平面木を用いた組合せ的枠組みを導入し、Narayana多項式およびその一般化に関する二項恒等式を導出し、統一的に扱う。マッチングとの対応関係を確立し、符号反転の対合を適用することで、Stanleyの双対的証明問題、Harer-Zagierの公式、およびNarayana多項式の新たな表現に関する恒等式を統一的に組合せ証明する。また、Schröder数に関連する木のクラスを同定する。

ABSTRACT

In this note, by counting some colored plane trees we obtain several binomial identities. These identities can be viewed as specific evaluations of certain generalizations of the Narayana polynomials. As consequences, it provides combinatorial proofs for a bijective problem in Stanley's collection "Bijective Proof Problems", a new formula for the Narayana polynomials as well as a new expression for the Harer-Zagier formula enumerating unicellular maps, in a unified way. Furthermore, we identify a class of plane trees, whose enumeration is closely connected to the Schröder numbers. Many other binomial identities are presented as well.

研究の動機と目的

• Narayana多項式およびその一般化を含む恒等式を証明する統一的な組合せ的枠組みを提供すること。
• 色付き平面木と符号反転の対合を用いて、Stanleyの収集集（15）における双対的証明問題を解決すること。
• 木の列挙を用いて、一セルラルマップを数えるHarer-Zagierの公式の新たな表現を導出すること。
• Schröder数を含む列挙に関与する新たな平面木のクラスを同定すること。
• 母関数と単位根フィルターを用いて、一般化された二項恒等式を導出すること。

提案手法

• 内部頂点にラベルを付け、葉にY/Nの色を付ける色付きラベル付き平面木を定義し、Chenのアルゴリズムを用いてマッチングの集合と双対写像を確立する。
• 色付き葉を備えた木における符号反転の対合を用い、項を打ち消し合い定数項を抽出することで、恒等式（3）を導出する。
• 母関数技法と単位根フィルターを用い、特に $ \omega_k = e^{2\pi i/k} $ を用いて一般化された二項恒等式を導出する。
• 周期的係数を抽出するために、恒等式 $ \sum_{i \geq 0} \binom{n}{a+ki} x^{a+ki} = \frac{1}{k} \sum_{l=1}^k \omega_k^{-a} (1 + x \omega_k^l)^n $ を用いる。
• 木とマッチングの双対写像を用いて、内部頂点および色付き葉に制約を課した構造の列挙を行い、多項係数を導出する。
• 主恒等式（27）においてパラメータ $ x, q, z, k, t $ を設定し、特殊ケースを評価することで一般化恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの組合せ的モデルが、Stanleyの双対的証明問題、Harer-Zagierの公式、およびNarayana多項式恒等式の証明を統一的に扱えるか。
• RQ2 Schröder数に対応する平面木のクラスは何か。その列挙はどのように特徴付けられるか。
• RQ3 一般化された二項恒等式 $ \sum_{l} \binom{kn+t}{kl+t} \binom{\cdots}{\cdots} z^{kl} $ を組合せ的に導出できるか。
• RQ4 Harer-Zagierの公式は、木の列挙とマッチングを用いて再表現され、組合せ的に証明可能か。
• RQ5 単位根は、木に基づく母関数から周期的二項係数和を抽出するために果たす役割は何か。

主な発見

• 符号反転の対合を色付き木に適用することで、恒等式 $ \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} \binom{n}{k} \binom{k+r}{n+q} = \binom{r}{q} $ を組合せ的に証明した。
• Narayana多項式の新たな表現 $ \sum_{k=1}^n N_{n,k} y^k = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{k} \binom{2n-k}{n} (y-1)^k $ を導出し、Stanleyの恒等式とLehman-Walshの公式を統一した。
• 一セルラルマップのHarer-Zagierの公式は、木の列挙を用いて再表現され、組合せ的に証明され、Lehman-Walshの公式と等価であることを確認した。
• パラメータ化された木の構成を用いて、Schröder数を含む列挙に関与する新たな平面木のクラスを同定した。
• 単位根フィルターを用いて一般化恒等式（27）〜（36）を確立し、母関数を用いた周期的二項係数和の閉形式を得た。
• 特殊ケース（28）〜（30）は、既知の恒等式 $ \sum_l \binom{n}{l} \binom{n+x+q+l-2}{n+q-1} z^l = \sum_l \binom{n}{l} \binom{x+q+n-2}{q+n-1-l} z^l (1+z)^{n-l} $ を回復した。