[論文レビュー] Natural connections on conformal Riemannian P-manifolds

Dobrinka Gribacheva, Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、共形的リーマンP多様体（クラス𝒲₁）上の自然な線形接続を調査し、曲率性質と平行なねじれに注目する。曲率テンソルがケーラー型テンソルに類似する性質を示す自然接続を分類し、特別な接続DおよびD̃を同定し、平行ねじれとリーマンP曲率を有する自然接続を有する多様体を特徴づける。

ABSTRACT

The class W_1 of conformal Riemannian P-manifolds is the largest class of Riemannian almost product manifolds, which is closed with respect to the group of the conformal transformations of the Riemannian metric. This class is an analogue of the class of conformal Kaehler manifolds in almost Hermitian geometry. In the present work we study the natural connections on the manifolds (M, P, g) from the class W_1, i.e. the linear connections preserving the almost product structure P and the Riemannian metric g. We find necessary and sufficient conditions the curvature tensor of such a connection to have similar properties like the ones of the Kaehler tensor in Hermitian geometry. We determine the type of the manifolds admitting a natural connection with a parallel torsion.

研究の動機と目的

• 共形的リーマンP多様体（クラス𝒲₁）上の自然な線形接続を研究すること。この接続は、ほぼ積構造Pとリーマン計量gの両方を保存する。
• そのような接続の曲率テンソルが、複素幾何におけるケーラーテンソルに類似した性質を示すために必要な十分条件を特定すること。
• 平行ねじれとリーマンP曲率を持つ自然接続を有するリーマンP多様体を特徴づけること。
• 曲率テンソルの振る舞いとねじれの平行性に基づいて、𝒲₁多様体上の自然接続を分類すること。

提案手法

• リーマン接続と1次形式θに依存する、𝒲₁多様体上の自然接続の一般形（パrameter λとμでパrameter化）を用いる。
• 自然接続∇′の曲率テンソルR′とリーマン接続の曲率Rとの間の曲率変換公式を適用する。
• リーマンPテンソルという概念を導入し、複素幾何におけるケーラーテンソルの類似物として位置づける。
• テンソルW(y,z) = θ(Py)θ(z) − θ(y)θ(Pz)を分析することで、曲率テンソルR′がリーマンPテンソルである条件を導出する。
• 自然接続のねじれテンソルを分析し、1次形式θとそのPによる引き戻しθ∘Pを用いて、ねじれの平行性の条件を導出する。
• λ=0、μ=−1/(4n)で定義される標準接続∇ᶜを用い、これが接続DとD̃の平均であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 𝒲₁多様体上の自然接続の曲率テンソルがリーマンPテンソルであるのはどのような条件下か？
• RQ2 𝒲₁多様体上のどの自然接続が、ケーラー型の対称性を有する曲率テンソルを与えるか？
• RQ3 𝒲₁多様体上の自然接続が平行ねじれを持つのはいつか？
• RQ4 自然接続が平行ねじれとリーマンP曲率の両方を有する場合、𝒲₁多様体にどのような幾何的制約が生じるか？
• RQ5 標準接続、D、D̃の間で、曲率とねじれの性質はどのように関係しているか？

主な発見

• 𝒲₁多様体上の自然接続∇′の曲率テンソルR′がリーマンPテンソルであるのは、1次形式θとθ∘Pに関する特定の条件が満たされる場合に限る。この条件は接続パrameter λとμに依存する。
• 接続D（λ=μ=0）がリーマンP曲率を持つのは、θが閉形式でなく、θ∘Pが閉形式である場合に限る。
• 接続D̃（λ=0, μ=−1/(2n)）がリーマンP曲率を持つのは、θが閉形式で、θ∘Pが閉形式でない場合に限る。
• λ²−μ²−μ/(2n)≠0 である接続に対しては、R′がリーマンPテンソルであるのは、θとθ∘Pが両方とも閉形式である場合に限る。
• λ≠0 かつ λ²−μ²−μ/(2n)=0 である場合、R′がリーマンPテンソルであるのは、θとθ∘Pが両方とも閉形式でない場合に限る。このとき、多様体はクラスW̄₃またはW̄₆に属してはならない。
• 平行ねじれを持つ自然接続が存在するのは、1次形式θがその接続に関して平行である場合に限る。このとき、θ∘Pは閉形式である。もし多様体がW̄₃またはW̄₆に属するならば、θ自身も閉形式である。