[論文レビュー] Natural Connections on Riemannian Product Manifolds

Dobrinka Gribacheva|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、リーマン計量と可積分なほぼ積構造を保存する自然な線形接続—リーマン積多様体上の自然なほぼ積多様体で、ニエンイユステンソルが消えるもの—を考察する。同定された接続は、テンソル $ F $ のみに依存するねじれを持つ唯一の自然接続であると証明し、$ \mathcal{W}_1 $ 多様体上でのねじれが $ g \otimes \theta $ を通じて表現される2パラメータ族の自然接続を特徴づける。この場合、ケースBは、唯一の自然接続を除き、すべての接続に対して成り立つ。

ABSTRACT

A Riemannian almost product manifold with integrable almost product structure is called a Riemannian product manifold. In the present paper the natural connections on such manifolds are studied, i.e. the linear connections preserving the almost product structure and the Riemannian metric.

研究の動機と目的

• リーマン積多様体上での自然な線形接続を分類すること、すなわち計量 $ g $ と可積分なほぼ積構造 $ P $ を両方保存する接続を対象とする。
• リーマン接続から導かれるテンソル $ F(x,y,z) = g((\nabla_x P)y, z) $ のみに依存するねじれを持つ自然接続が存在する条件を特定すること。
• $ \theta $ を $ F $ に関連づけるリー1形式とするとき、ねじれがテンソル $ g \otimes \theta $ を通じて表現される自然接続を分析すること、特に $ \mathcal{W}_1 $ クラスにおいて。
• このような接続の存在と構造を確立し、ねじれの分解を不変部分空間 $ \mathcal{T}_i $ に基づいてケースに分けること。

提案手法

• テンソル $ F $ を用いたリーマンほぼ積多様体のスタイコヴァ–グリバチェフ分類を用い、リーマン積多様体に対応する $ \mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 $ クラスに焦点を当てる。
• ねじれテンソル空間を4つの直交的かつ不変な部分空間 $ \mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2, \mathcal{T}_3, \mathcal{T}_4 $ に分解し、ねじれの性質を分析する。
• ねじれが $ \mathcal{T}_1 $ に属する唯一の自然接続として標準接続を導出し、$ F $ と $ \theta $ を用いた特定の式で特徴づけられることを示す。
• $ g \otimes \theta $ を通じてねじれが表現される接続を分析し、係数 $ \lambda $ と $ \mu $ を用いて $ \mathcal{W}_1 $ 多様体上でのそのようなねじれの2パラメータ族を導出する。
• ケースB（ねじれが $ \mathcal{T}_1 \oplus \mathcal{T}_4 $ に属するが、$ \mathcal{T}_1 $ や $ \mathcal{T}_4 $ のみに属するわけではない）は、標準接続を除くすべての接続に対して成り立ち、ケースCは不可能であることを示す。
• 直接計算により条件を検証し、標準接続が一般のねじれ式における $ \lambda = 0, \mu = -\frac{1}{4n} $ に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン積多様体上でのねじれがテンソル $ F $ のみに依存する唯一の自然接続は何か？
• RQ2 ねじれが $ g \otimes \theta $ を通じて表現可能となる自然接続が存在する条件は何か？
• RQ3 そのような自然接続が存在する場合、その空間の構造はどのようなものか？
• RQ4 なぜねじれが $ g \otimes \theta $ を通じて表現される自然接続に対してケースCは発生しないのか？
• RQ5 $ \mathcal{T}_1 $ と $ \mathcal{T}_4 $ のねじれ成分は、標準接続と非標準接続の間でどのように関係しているか？

主な発見

• 任意のリーマン積多様体 $ (M,P,g) \in \mathcal{W}_1 \oplus \mathcal{W}_2 $ 上で、ねじれが $ F $ のみに依存する唯一の自然接続は標準接続であり、それは完全に $ \mathcal{T}_1 $ 成分に属する。
• $ (M,P,g) \in \mathcal{W}_1 $ の場合、ねじれが $ g \otimes \theta $ を通じて表現される自然接続の2パラメータ族が存在し、パラメータ $ \lambda, \mu \in \mathbb{R} $ でパラメータ化される。一般形は式 (5.2) で与えられる。
• 標準接続はこの族における $ \lambda = 0, \mu = -\frac{1}{4n} $ に対応し、そのねじれは明示的に式 (4.3) で与えられる。
• ケースB（ねじれが $ \mathcal{T}_1 \oplus \mathcal{T}_4 $ に属するが、$ \mathcal{T}_1 $ や $ \mathcal{T}_4 $ のみに属するわけではない）は、標準接続を除くすべての接続に対して成り立つ。
• ねじれが $ g \otimes \theta $ を通じて表現される自然接続に対しては、ケースCは存在しない。なぜなら、そのような接続は常にケースBの条件を満たすからである。
• $ \mathcal{W}_2 $ 多様体上（$ \theta = 0 $）では、ねじれが $ g \otimes \theta $ に属するような接続は存在せず、唯一の可能性は標準接続（ケースA）である。