[論文レビュー] Natural Coordinate System in Curved Space-time

Ying-Qiu Gu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、曲がった時空における「自然座標系」（NCS）を導入し、物理的世界の時間的進化に一致する、超曲面に直交する同時性を時間座標に同期させる。時空の時間座標を、物理的同時性を表すスライスに直交する、グローバルに有効な座標系として構築することで、アインシュタイン場方程式が単純化され、特に弱い場および低速極限において、力学的挙動の明確な幾何学的・物理的解釈が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we establish a generally and globally valid coordinate system in curved space-time with the simultaneous hypersurface orthogonal to the time coordinate. The time coordinate can be preseted according to practical evolving process and keep synchronous with the evolution of the realistic world. In this coordinate system, it is convenient to express the physical laws and to calculate physical variables with clear geometrical meaning. We call it "natural coordinate system". The constructing method for the natural coordinate system is concretely provided, and its physical and geometrical meanings are discussed in detail. In NCS we make classical approximation of spinor equation to get Newtonian mechanics, and then make weak field approximation of Einstein's equation and low speed approximation of particles moving in the space-time. From the analysis and examples we find it is a nice coordinate system to describe the realistic curved space-time, and is helpful to understand the nature of space-time.

研究の動機と目的

• 曲がった時空において、宇宙の物理的進化に従い、時間座標を進化する同時性超曲面に一致させるグローバルに有効な座標系を確立すること。
• 時間座標が超曲面に直交することを保証し、ハミルトニアン形式を明確にし、ネーターの荷電量の計算を単純化すること。
• 任意の与えられた時空計量を、正則な空間座標変換によってこの自然座標系に変換する構成的技法を提供すること。
• 弱い場および低速極限におけるNCSの物理的・幾何学的利点を示し、特にニュートン力学の回復とアインシュタイン方程式の単純化を明らかにすること。
• NCSにおいて座標条件が動的および初期・境界条件から自然に導かれるという点を示し、一般相対性理論における座標条件の役割を明確にすること。

提案手法

• 時間座標が空間座標微小変位 $ dy^k $ に対して直交するように、$ dt hinspace dy^k $ 項を除く座標変換 $ x^k = x^k(t, y^l) $ を構成し、$ \frac{\text{d}x^k}{\text{d}t} = -\bar{g}^{kl} A_l $ を解く1階常微分方程式系を用いる。
• 時間座標を $ t = f(x^\nu) $ として再定義するため、$ \nabla_\nu f > 0 $ かつ十分な滑らかさを満たす関数 $ f $ が、一意かつグローバルに定義された同時性超曲面 $ f(x^\nu) = C $ を有することを用いる。
• 計量にADM分解を適用し、$ ds^2 = g_{tt} dt^2 - g_{kl} dy^k dy^l $ に簡略化し、リッチテンソル成分から接続係数 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^\nu $ および $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^\nu $ を導出する。
• 計量摂動 $ h_{kl} $ の波動方程式を、$ G^{00} $ および $ G^{0k} $ 方程式を解くことで導出する。これにより、$ \frac{1}{2}\nabla^2 \tilde{\rho} = \frac{\tilde{\rho}}{2} $ および $ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\tilde{\boldsymbol{\rho}}^k - \nabla^k \tilde{\rho}) = \text{源項} $ が得られる。
• スピン系方程式およびアインシュタイン方程式の古典的および弱い場近似を実行し、ニュートン重力がNCSにおいて自然に現れることを示す。
• NCSにおいて、測地線方程式に $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^k $ に依存する項が存在しないため、粒子運動方程式における重力磁気的力項が消える。これは他の座標系とは対照的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空において、時間座標が物理的宇宙の進化を表すスライスに直交する、グローバルに有効な座標系を構築できるか？
• RQ2 与えられた時空計量から、このような座標系を体系的に構築する方法は何か？また、計量および座標変換に必要な条件は何か？
• RQ3 この座標系が一般相対性理論のハミルトニアン形式および保存量の計算に与える影響は何か？
• RQ4 自然座標系は、一般相対性理論の弱い場および低速極限をどのように単純化するか？また、その結果得られる粒子運動方程式の形は何か？
• RQ5 なぜこの座標系では重力磁気的力項が消えるのか？標準的な座標系におけるそれとの比較は？

主な発見

• 曲がった時空において、時間座標が進化する同時性超曲面 $ f(x^\nu) = C $ に直交するグローバルに有効な自然座標系（NCS）が存在し、正則な空間座標変換によって構築可能である。
• この構築は、$ \frac{\text{d}x^k}{\text{d}t} = -\bar{g}^{kl} A_l $ を解く1階常微分方程式系に基づく。これにより $ dt $ と $ dy^k $ の直交性が保証され、初期条件が与えられれば一意な解が保証される。
• NCSではアインシュタイン場方程式が著しく単純化される：$ G^{00} $ および $ G^{0k} $ 成分から $ \tilde{\rho} $ および $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}^k $ に対する独立した方程式が得られ、これにより $ h_{kl} $ の波動方程式が導出される。
• NCSにおけるスピン系方程式の古典的近似はニュートン力学を再現し、量子力学、古典力学、一般相対性理論の間の明確な幾何的・力学的関係を示す。
• 弱い場および低速極限において、NCSにおける粒子運動方程式は $ \frac{d}{dt}v^k = -\nabla_k \tilde{\rho} + v^k \frac{\text{d}}{\text{d}t}\tilde{\rho} + v^n \frac{\text{d}}{\text{d}t}h_{kn} $ の形を取り、重力磁気的力項が存在しない。
• NCSにおける座標条件は事前に課されるのではなく、力学的挙動、初期条件、および同時性超曲面の進化から自然に導かれるため、物理的に自然で自己整合的である。