[論文レビュー] Natural generalized inverse and core of an element in semigroups, rings and Banach and Operator Algebras

Xavier Mary|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2012

Matrix Theory and Algorithms参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、半群、環、バナッハ／作用素代数における要素の自然な一般化逆元およびコアを導入し、ドレイジンおよびコリハ＝ドレイジン逆元を一般化する。逆元を要素に沿って定義し、べき等元の自然な部分順序を用いて、べき等的、カトー、メーブェルタ分解に類似したコア分解を確立し、作用素代数におけるスペクトル理論および局所スペクトル理論への応用を示す。

ABSTRACT

Using the recent notion of inverse along an element in a semigroup, and the natural partial order on idempotents, we study bicommuting generalized inverses and define a new inverse called natural inverse, that generalizes the Drazin inverse in a semigroup, but also the Koliha-Drazin inverse in a ring. In this setting we get a core decomposition similar to the nilpotent, Kato or Mbekhta decompositions. In Banach and Operator algebras, we show that the study of the spectrum is not sufficient, and use ideas from local spectral theory to study this new inverse.

研究の動機と目的

• 半群および環における要素に沿った逆元の概念を用いて、ドレイジンおよびコリハ＝ドレイジン逆元を一般化すること。
• 代数的および作用素論的設定における既存の一般化逆元を統一・拡張する新しい逆元、すなわち自然逆元を定義すること。
• 自然逆元を用いて、べき等的、カトー、またはメーブェルタ分解に類似したコア分解を要素に対して確立すること。
• バナッハ代数および作用素代数における局所スペクトル理論の役割を調査し、スペクトル性質のみでは自然逆元を特徴付けるには不十分であることを示すこと。
• 自然逆元に関連する超不変部分空間および射影の構造を調査し、特に解析的コアおよびスペクトル性質ととの関係を明らかにすること。

提案手法

• グリーンの前置順序およびべき等元の自然な部分順序を用いて、半群における要素に沿った逆元の概念を用いる。
• 自然一般化逆元を、要素と可換なべき等元の集合の中で、$ eae \mathcal{H} e $ を満たすものの中で最大のものとして定義し、要素に沿った逆元を主要な道具とする。
• 要素に沿った逆元を用いて、$ d \leq_{\mathcal{R}} da $ かつ $ (da)^\sharp $ が存在する、または $ dad \mathcal{H} d $ であるという同値条件を導出する。ここで $ a^{\parallel d} = d(ad)^\sharp = (da)^\sharp d $ である。
• べき等元の自然な部分順序を用いて $ \Sigma_0(a), \Sigma_1(a), \Sigma_2(a) $ を定義し、$ \Sigma_2(a) $ の最大のべき等元を自然逆元のコア射影として特定する。
• バナッハ代数における局所スペクトル理論を用いて自然逆元を分析し、特に解析的コア $ K(T) $、超不変補空間 $ N $、および 0 における単値拡張性質（SVEP）に注目する。
• スペクトル分解および超不変部分空間の構造を用いて、$ K(T) $ が閉かつ超不変に補完可能であるとき、自然逆元が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半群および環において、ドレイジンおよびコリハ＝ドレイジン逆元を統一的かつ一般化する枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 べき等元の自然な部分順序を用いて、要素に沿った逆元が自然一般化逆元を構成する上で果たす役割は何か？
• RQ3 バナッハ代数および作用素代数において、自然逆元の存在に必要な十分なスペクトル的および局所スペクトル的性質は何か？
• RQ4 自然逆元は解析的コア $ K(T) $、超不変補空間、および 0 における単値拡張性質（SVEP）とどのように関係するか？
• RQ5 自然逆元がべき等的またはカトー分解に類似したコア分解を許容する条件は何か？

主な発見

• 自然逆元が存在するための必要十分条件は、解析的コア $ K(T) $ が閉かつ超不変に補完可能であることであり、$ \Sigma_2(T) $ の最大のべき等元が $ K(T) $ への射影である。
• 自然逆元のコア、$ TM = TBT $ は、$ K(T) $ の閉かつ超不変かつ補完可能な部分空間であり、$ TK_\nu(T) = K_\nu(T) $ を満たす。
• もし $ K(T) = \{0\} $ ならば、$ \Sigma_1(T) = \{0\} $ であり、同様に $ \overline{H_0(T)} = X $ ならば $ \Sigma_1(T) = \{0\} $ である。これは、このような状況では自然逆元が自明であることを示している。
• 単一のシフト作用素 $ S $ が $ \ell^2(\mathbb{N}) $ 上に作用するとき、$ \Sigma_1(S) = \{0\} $ であるが、$ S $ は準ノルム的ではない。これはその超範囲が自明であるためである。
• 強く非可約な作用素は $ \Sigma_1(T) = \{0\} $ を満たし、スペクトル $ \sigma(T) $ が連結であることは、$ T $ がこのような作用素のノルム閉包にあることと同値である。
• もし $ \sigma(X) \cap \sigma(Y) = \{0\} $ ならば、作用素 $ T = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & Y \end{pmatrix} $ は自然コア分解を許容し、$ M = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ が $ \Sigma_2(T) $ の最大元として一致する。これはローゼンブロムの推論と整合的である。