[論文レビュー] Natural halting probabilities, partial randomness, and zeta functions

Cristian S. Calude, Michael Stay|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2006

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 23被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、チューリング機械のゼータ数、自然な停止確率、自然な複雑度を導入し、発散型、収束型、トゥアタラ型に分類される新しい枠組みを確立する。ユニバーサル収束型およびトゥアタラ型機械の存在を証明し、ユニバーサルトゥアタラ型機械のゼータ数が、効果的に可算可能かつアルゴリズム的ランダムであることを示す。さらに、プレーン複雑度による特徴づけを伴う、部分的ランダムネスの新しい形式「漸近的ランダムネス」を導入する。

ABSTRACT

We introduce the zeta number, natural halting probability, and natural complexity of a Turing machine and we relate them to Chaitin's Omega number, halting probability, and program-size complexity. A classification of Turing machines according to their zeta numbers is proposed: divergent, convergent, and tuatara. We prove the existence of universal convergent and tuatara machines. Various results on (algorithmic) randomness and partial randomness are proved. For example, we show that the zeta number of a universal tuatara machine is c.e. and random. A new type of partial randomness, asymptotic randomness, is introduced. Finally we show that in contrast to classical (algorithmic) randomness--which cannot be naturally characterised in terms of plain complexity--asymptotic randomness admits such a characterisation.

研究の動機と目的

• チャイティンのオメガ数およびプログラムサイズ複雑度の類似物として、チューリング機械のゼータ数、自然な停止確率、自然な複雑度を定義・分析すること。
• ゼータ数に基づいてチューリング機械を発散型、収束型、トゥアタラ型に分類すること。
• これらの新しい測度のアルゴリズム的ランダムネスおよび部分的ランダムネスの性質、特にユニバーサル機械に関して調査すること。
• プレーン複雑度に基づく特徴づけを伴う、部分的ランダムネスの新しい形式「漸近的ランダムネス」を導入・形式化すること。

提案手法

• チューリング機械のゼータ数を、すべての停止プログラムについて 2^(-|p|) の和として定義する。ここで |p| はプログラム p の長さである。
• ゼータ数の収束性に基づいてチューリング機械を分類する：発散型（無限和）、収束型（有限和）、トゥアタラ型（収束するが効果的に可算可能でない）。
• 対角線論法および符号化技術を用いて、収束型およびトゥアタラ型クラスに属するユニバーサル機械を構成し、その存在を証明する。
• ゼータ数とアルゴリズム的ランダムネスの関係を、ゼータ数のアルゴリズム的情報含量を分析することで確立する。
• 実数の2進展開におけるビットの相対頻度が極限で 1/2 に近づくような、部分的ランダムネスの形式として漸近的ランダムネスを定義する。
• プレーン複雑度（K(x)）を用いて漸近的ランダムネスを特徴づけ、実数が漸近的ランダムであるための必要十分条件として、その初期セグメントのプレーン複雑度が低次の項を除いて最大であること（すなわち、最大のプレーン複雑度に達していること）を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チューリング機械に対して、チャイティンのオメガ数を一般化する自然な停止確率を定義できるか？
• RQ2 収束型またはトゥアタラ型に属するユニバーサルチューリング機械は存在するのか？ その性質は何か？
• RQ3 ユニバーサルトゥアタラ型機械のゼータ数は、効果的に可算可能かつアルゴリズム的ランダムであるか？
• RQ4 プレーン複雑度に基づいて特徴づけられる、部分的ランダムネスの新しい形式「漸近的ランダムネス」を定義し、特徴づけられるか？
• RQ5 プレーン複雑度による特徴づけの観点から、漸近的ランダムネスは古典的アルゴリズム的ランダムネスとどのように異なるか？

主な発見

• ユニバーサルトゥアタラ型機械のゼータ数は、効果的に可算可能かつアルゴリズム的ランダムである。
• ユニバーサル収束型およびユニバーサルトゥアタラ型チューリング機械が存在することを示し、収束性とユニバーサル性が両立可能であることを実証した。
• ユニバーサルトゥアタラ型機械のゼータ数は、ランダムであるだけでなく、c.e. 実数のクラスに属する。これにより、アルゴリズム的ランダムネスと計算可能性理論が結びつけられた。
• 漸近的ランダムネスは、プレーン複雑度による特徴づけを伴う、部分的ランダムネスの新しい形式として導入された。
• 古典的アルゴリズム的ランダムネスとは異なり、プレーン複雑度による特徴づけが不可能であるのに対し、漸近的ランダムネスは、初期セグメントのプレーン複雑度が低次の項を除いて最大であるという条件によって完全に特徴づけられる。
• 本稿では、ユニバーサルトゥアタラ型機械のゼータ数が、自然的で、ランダムかつc.e. 実数であることを確立し、アルゴリズム的ランダムネスの新たな標準例を提供した。