[論文レビュー] Natural homotopy of multipointed d-spaces

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2024

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、multipointed d-空間と方向付き空間の間で、完全な反映部分カテゴリ関係を確立し、Baues-Wirschingの自然系をmultipointed d-空間へ拡張可能にする。また、ホモトピー的不変な位相空間の自然系と、その離散的類似物をセル状のmultipointed d-空間に対して構成し、これらがホモトピー的意味で双相似であることを証明する。この枠組みはグローブ的分割に関して不変であり、Dubutの立方体的結果のグローブ的類似物を提供し、従来の手法よりも広範な適用可能性を有する。

ABSTRACT

We identify Grandis' directed spaces as a full reflective subcategory of the category of multipointed $d$-spaces. When the multipointed $d$-space realizes a precubical set, its reflection coincides with the standard realization of the precubical set as a directed space. The reflection enables us to extend the construction of the natural system of topological spaces in Baues-Wirsching's sense from directed spaces to multipointed $d$-spaces. In the case of a cellular multipointed $d$-space, there is a discrete version of this natural system which is proved to be bisimilar up to homotopy. We also prove that these constructions are invariant up to homotopy under globular subdivision. These results are the globular analogue of Dubut's results. Finally, we point the apparent incompatibility between the notion of bisimilar natural systems and the q-model structure of multipointed $d$-spaces and we give some suggestions for future works.

研究の動機と目的

• 方向付き空間をmultipointed d-空間の完全な反映部分カテゴリとして埋め込むこと。
• Baues-Wirschingの自然系構成を、方向付き空間から一般のmultipointed d-空間へ拡張すること。
• セル状のmultipointed d-空間に対して離散的自然系を定義し、それが連続版とホモトピー的意味で双相似であることを証明すること。
• これらの構成がグローブ的分割に関して不変であることを示すこと。
• q-モデル構造とmultipointed d-空間における自然系の双相似性との間に、根本的な不適合性を特定すること。

提案手法

• multipointed d-空間から方向付き空間への反射関手 →Sp を構成し、方向付き経路が実行経路の断片の有限合成として表現されることを保証する。
• 任意のmultipointed d-空間 X に対して、その反射 →Sp(X) の方向付き経路を用いて、位相空間の自然系 →NT(X) を定義する。
• セル状のmultipointed d-空間に対しては、グローブ的細胞の中心を用いて離散的自然系 →NTd(X) を導入する。
• →NT(X) から →NTd(X) への写像がホモトピー的意味で開であることを証明し、これにより双相似性がホモトピー的意味で成立することを示す。
• グローブ的分割による写像がホモトピー的双相似な自然系を誘導することを示し、不変性を証明する。
• q-モデル構造における弱同値が自然系の双相似性を保存しないことの反例を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Baues-Wirschingの自然系構成は、方向付き空間からより広範なmultipointed d-空間のカテゴリへ拡張可能か？
• RQ2 セル状のmultipointed d-空間に対して、計算的に扱いやすく、連続版とホモトピー的に同等な離散的自然系は存在するか？
• RQ3 これらの構成は、Dubutの立方体的設定における結果と同様に、グローブ的分割に関して不変か？
• RQ4 multipointed d-空間におけるq-モデル構造と自然系の双相似性の概念との関係は何か？
• RQ5 q-モデル構造における弱同値と自然系の双相似性の間の明らかな不適合性は、解消可能か、あるいは再解釈可能か？

主な発見

• 方向付き空間の圏は、各multipointed d-空間をその最大の方向付き部分空間に写す関手 →Sp を通じて、multipointed d-空間の完全な反映部分カテゴリをなす。
• 任意のmultipointed d-空間 X に対して、位相空間の自然系 →NT(X) は適切に定義されており、方向付き空間におけるBaues-Wirschingの構成を拡張する。
• セル状のmultipointed d-空間に対しては、グローブ的細胞の中心を用いて構成された離散的自然系 →NTd(X) が存在し、これは →NT(X) とホモトピー的意味で双相似である。
• →NT(X) および →NTd(X) の構成はグローブ的分割に関して不変である：f: X → Y がグローブ的分割であるならば、→NT(X)、→NT(Y)、→NTd(X)、→NTd(Y) はすべてホモトピー的意味で双相似である。
• 反例により、q-モデル構造における弱同値が自然系の双相似性を保存しないことが示され、両者の枠組み間に明白な不適合性があることが判明した。
• 本稿では、q-モデル構造と自然系の双相似性が、方向代数的トポロジーにおける互いに不適合な形式的枠組みを表している可能性が示唆されている。