[論文レビュー] Natural join construction of graded posets versus ordinal sum and discrete hyper boxes

A. K. Kwaśniewski|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重み付きposetに対して、自然結合演算 $P \oplus\!\to Q$ を新たに導入し、順序和を一般化する統一的な枠組みを提供する。この枠組みにより、cobweb poset における Möbius 関数の公式を簡潔に導出可能となる。この手法は、重み付きposetの双対隣接行列の自然結合を用い、KoDAG（Ko完全DAG）として解釈する。さらに、$F$-重み付き構造と $F$-多項式を用いて、ホイットニー数および特性多項式の明示的公式を確立する。

ABSTRACT

One introduces here the natural join $P \os Q$ of graded posets $< P,\leq_P >$ and $< Q,\leq_Q >$ with correspondingly maximal and minimal sets being identical as expressed by ordinal sum $P\oplus Q$ apart from other definition and due to that one arrives at a simple proof of the $M{ö}bius $ function formula for cobweb posets. We also quote the other authors explicit formulas for the zeta matrix and its inverse for any graded posets with the finite set of minimal elements from earlier works of the author. These formulas are based on the formulas for cobweb posets and their $Hasse$ diagrams or graphs named $KoDAGs$ which are interpreted as chains of binary complete or universal relations joined by the natural join operation. Natural join of two independent sets is therefore the ordinal sum of this trivially ordered posets represented also by directed biclique named dibiclique and correspondingly by their $Hasse $ diagrams or graphs named $KoDAGs$. Such cobweb posets and equivalently their Hasse diagrams or graphs named $KoDAGs$ are also encoded by discrete hyper-boxes and the natural join operation of such discrete hyper boxes is just cartesian product of them accompanied with projection out of common faces. All graded posets with no mute vertices in their $Hasse$ diagrams which means that no vertex has indegree or outdegree equal zero are natural join of chain of relations and may be at the same time interpreted an $n-ary$ relation, $n \in N \cup \{\infty \}$.

研究の動機と目的

• 重み付きposetにおける自然結合演算を用いて、順序和の構成を統一的かつ一般化すること。
• 自然結合とKoDAG表現を用いて、cobweb poset におけるMöbius関数の公式を簡潔かつ体系的な証明を提供すること。
• F-重み付き構造を用いて、cobweb poset のホイットニー数および特性多項式の明示的公式を導出すること。
• F-重み付きposet が $n$-項関係として表現可能となる条件を明確にし、無音頂点（ミュート頂点）を除くこと。
• 離散的ハイパーボックス、自然結合、および共通面の射影を伴う直積との関係を確立すること。

提案手法

• 2つの重み付きposet $P$ と $Q$ の自然結合 $P \oplus\!\to Q$ を、$P$ の最大集合と $Q$ の最小集合を同一視する構成として定義し、順序和を一般化する。
• cobweb poset を KoDAG（Ko完全DAG）として表現する。KoDAG は、二項完全関係の鎖を符号化する有向無閉路グラフである。
• 連続するレベルの双対隣接行列を用いて自然結合演算をモデル化し、$n$-項関係表現のためのゼロ行・ゼロ列（ミュート頂点）を含まないことを保証する。
• インシデント行列を用いて、ゼータ行列 $[Max]$ を $ (I - \kappa)^{-1} = \sum_{k \geq 0} \kappa^k $ の形の累乗級数として導出する。
• 逆ゼータ行列 $[Max]^{-1} = \delta - \kappa$ を、対角線上に単位行列ブロック、下部に負の双対隣接行列を有する下三角行列として構築する。
• 区間 $[x_k, x_n]$ 内の最大鎖の数を $[Max]_{k,n}$ を用いて表現し、$F$-多項式および階乗を含む明示的公式に導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然結合演算 $P \oplus\!\to Q$ は、最大集合と最小集合が同一の重み付きposetにおいて、順序和をどのように一般化するか？
• RQ2 KoDAGと双対隣接行列は、cobweb poset の表現およびMöbius関数の導出に果たす役割は何か？
• RQ3 F-重み付きposet が $n$-項関係として表現可能となる条件は何か？また、ミュート頂点の欠如はその条件にどのように影響するか？
• RQ4 自然結合構成を用いて、cobweb poset のホイットニー数および特性多項式に対して、どのような明示的公式を導出可能か？
• RQ5 離散的ハイパーボックスは、自然結合および重み付きposetの直積（共通面の射影を伴う）とどのように関係するか？

主な発見

• 自然結合 $P \oplus\!\to Q$ は、順序和を一般化する統一的構成を提供し、cobweb poset におけるMöbius関数の公式の簡潔な導出を可能にする。
• 区間 $[x_k, x_n]$ 内の最大鎖の数は、$[Max]_{k,n} = \binom{n-1}{k-2}_F (n-k+1)_F!$ で与えられ、ここで $\binom{n-1}{k-2}_F$ は $F$-多項式係数である。
• 逆ゼータ行列 $[Max]^{-1}$ は、対角線上に単位行列ブロック、下部に負の双対隣接行列を有する下三角行列であり、Möbius関数の計算を効率的に行う。
• ミュート頂点（双対隣接行列にゼロ行・ゼロ列を含まない）を含まないcobweb poset は、二項完全関係の自然結合として $n$-項関係として解釈可能である。
• cobweb poset の特性多項式およびホイットニー数は、自然結合構造から導かれる $F$-多項式および $F$-階乗を用いて明示的に表現される。
• 離散的ハイパーボックスは、$F$-重み付きposet の自然結合に対応し、共通面の射影を伴う直積として実現され、poset 構造を保存する。