[論文レビュー] Natural nonequilibrium states in quantum statistical mechanics

David Ruelle|ArXiv.org|Jun 7, 1999

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 14被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、異なる温度の無限大の熱浴に接続された有限なスピン系を有する量子スピン系における自然な非平衡定常状態（NNES）を定義するきめ細やかな枠組みを提案する。時間積分の収束に基づく公理的アプローチを用い、時間に依存しない場合のKMS状態に類似した解析的性質を保ちつつ、非平衡から大きく離れた領域でも有効な線形応答公式を確立する。

ABSTRACT

A quantum spin system is discussed, where a heat flow between infinite reservoirs takes place in a finite region. A time dependent force may also be acting. Our analysis is based on a simple technical assumption concerning the time evolution of infinite quantum spin systems. This assumption, physically natural but currently proved for few specific systems only, says that quantum information diffuses in space-time in such a way that the time integral of the commutator of local observables converges: $\int_{-\infty}^0dt ||[B,α^tA]||

研究の動機と目的

• 有限なスピン系が異なる温度の無限大の熱浴に接続された量子スピン系における自然な非平衡定常状態（NNES）を定義すること。
• 時間に依存しないKMS平衡状態に類似した解析的性質を保持する非平衡状態の数学的枠組みを確立すること。
• 相互作用の小さな摂動に対して有効な線形応答公式を導出すること。非平衡から大きく離れた領域でも有効である。
• ハミルトニアン力に基づく非平衡ダイナミクスを扱い、非ハミルトニアン的サーモスタットを避けること。
• C*-代数的手法と時間発展演算子の同型写像を用いて、開系における量子輸送と応答を研究する基盤を提供すること。

提案手法

• 無限大の量子スピン系の時間発展演算に技術的仮定（A1）–（A5）を導入し、特に局所的観測量に対して $\int dt\, ||[B, \alpha^t A]|| < \infty $ の収束を仮定する。
• 全相互作用代数 $\mathcal{A}$ と熱浴代数 $\mathcal{A}_{>} $ の間の $*$-同型写像 $\omega_t$ を定義し、全時間発展演算 $\alpha^t$ と非相互作用時間発展演算 $\breve{\alpha}^t$ をつなぐ。
• 非相互作用平衡状態 $\sigma$ の遠い過去における漸近的挙動に基づき、NNES $\rho_t$ を $\rho_t = \omega_t^{-1} \circ \sigma$ として構成する。
• 相互作用ハミルトニアンの摂動 $\delta h(\cdot)$ に対する線形応答公式を導出： $\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$。
• 時間順序摂動展開と $\omega_t$ の微小摂動に対する安定性を用い、$\rho_t^\lambda(A)$ の微分可能性と解析的性質を裏付ける。
• 反復的交換子と時間順序積分を用いて高次応答公式を確立し、交換子ノルムの一様収束仮定のもとで有効であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる温度の複数の無限大熱浴に接続された有限な量子系に対して、明確に定義された非平衡定常状態を構成できるか？
• RQ2 提案されたNNESは、時間に依存しない場合のKMS状態に類似した解析的性質を保持するか？
• RQ3 従来のグリーン＝クーブまたはオンサーガー型の手法とは対照的に、非平衡から大きく離れた領域でも有効な線形応答公式を導出できるか？
• RQ4 相互作用する量子系のダイナミクスを、非相互作用基準ダイナミクスと $*$-同型写像で結びつける方法は何か？
• RQ5 局所的観測量の時間発展演算が、交換子積分の収束を保証するための条件は何か？

主な発見

• 自然な非平衡状態 $\rho_t$ は、非相互作用平衡状態 $\sigma$ を相互作用系の状態へ写像する $*$-同型写像 $\omega_t$ を通じて定義され、遠い過去における漸近的一致性を保証する。
• 時間に依存しない力が作用する場合、NNES $\rho_t = \rho$ は時間に依存せず、非平衡状態であるにもかかわらずKMS状態に類似した解析的性質を保持する。
• 線形応答公式が導出される： $\frac{d}{d\lambda}\rho_t^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i\int_{-\infty}^t d\tau\, \rho_t([\alpha(t,\tau)\delta h(\tau), A])$、$A \in (\alpha^t)^{-1}\mathcal{E}$ に対して有効であり、非平衡から大きく離れた領域でも成立する。
• 高次応答微分は反復的時間順序積分によるネストされた交換子として表現される： $\frac{1}{n!}\frac{d^n}{d\lambda^n}\rho^\lambda(A)\big|_{\lambda=0} = i^n \int_{0}^{\infty} d\sigma_1 \cdots \int_{0}^{\infty} d\sigma_n \, \rho([k, \alpha^{-\sigma_1}[k, \cdots [k, \alpha^{-\sigma_n} A]\cdots]])$。
• $\lambda=0$ における $\rho_t^\lambda(A)$ の微分可能性は、$\int_{-\infty}^0 d\tau\, ||[k(\tau), \alpha^\lambda(\tau,t)A]||$ の一様収束により保証され、$\lambda=0$ の近傍における応答の解析的性質が保証される。
• この枠組みは公理的である：主な技術的仮定（交換子積分の収束）は物理的に自然であるが、厳密に証明されたのは少数の特定の量子スピン系に限られる。