[論文レビュー] Natural pseudo-distance and optimal matching between reduced size functions

Michele D’Amico, Patrizio Frosini+1 more|ArXiv.org|Apr 22, 2008

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ひとこと要約

本稿では、縮小サイズ関数間の新しいマッチング距離を用いて、サイズペア間の自然擬似距離に対する安定的で計算可能な下界を導入する。この手法は、これらの関数のコーナーポイント間の最適マッチング問題として比較をモデル化し、自然擬似距離の最もきつい下界を提供する。この下界は、鋭い性質を示し、摂動に対して頑健であることが証明されている。

ABSTRACT

This paper studies the properties of a new lower bound for the natural pseudo-distance. The natural pseudo-distance is a dissimilarity measure between shapes, where a shape is viewed as a topological space endowed with a real-valued continuous function. Measuring dissimilarity amounts to minimizing the change in the functions due to the application of homeomorphisms between topological spaces, with respect to the $L_\infty$-norm. In order to obtain the lower bound, a suitable metric between size functions, called matching distance, is introduced. It compares size functions by solving an optimal matching problem between countable point sets. The matching distance is shown to be resistant to perturbations, implying that it is always smaller than the natural pseudo-distance. We also prove that the lower bound so obtained is sharp and cannot be improved by any other distance between size functions.

研究の動機と目的

• 測定関数を伴う位相的形状間の自然擬似距離を直接計算することが計算的に困難であるという問題に対処すること。
• 明示的なホメオモルフィズム探索を回避する、安定的で計算可能な自然擬似距離の下界を構築すること。
• 提案された縮小サイズ関数間のマッチング距離が、自然擬似距離の最良の可能な下界であることを確立すること。
• 測定関数の$L_∞$-位相に関してマッチング距離の連続性を証明することで、摂動に対して頑健であることを保証すること。
• 他のサイズ関数間の距離が、提案されたマッチング距離よりも良い下界を生成できないことを示すこと。

提案手法

• 連結性を用いたパス連結性の代わりに縮小サイズ関数を定義し、理論的および計算的性質を向上させる。
• 縮小サイズ関数を拡張された実平面内の離散的点集合（コーナーポイント）として表現することで、離散的比較を可能にする。
• コーナーポイント集合間の最適マッチングコストとしてマッチング距離を定義し、対応する点間の$L_∞$-に類似した距離を最小化する。
• マッチング距離が測定関数の$L_∞$-ノルムに関して連続であることを証明し、摂動に対する安定性を保証する。
• 構成的補題（補題30）を用いて、任意の二つの縮小サイズ関数に対して、そのマッチング距離が自然擬似距離として実現可能な位相空間および測定関数が存在することを示す。
• 背理法を用いてマッチング距離が最良の可能な下界であることを確立し、他のいかなる距離でもそれを改善できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホメオモルフィズムを明示的に計算せずに、安定的で計算可能な自然擬似距離の下界を構築することは可能か？
• RQ2 提案された縮小サイズ関数間のマッチング距離は、自然擬似距離の最もきつい下界であるか？
• RQ3 マッチング距離は、[7] に示されたサイズ関数に基づく既存の下界とどのように関係するか？
• RQ4 マッチング距離は、測定関数のノイズや摂動に対して頑健にできるか？
• RQ5 自然擬似距離がその縮小サイズ関数間のマッチング距離に正確に等しくなるような形状ペアを構築することは可能か？

主な発見

• 縮小サイズ関数間のマッチング距離は、[7] が用いるより洗練されていないサイズ関数比較に依存する下界よりも、厳密に優れた自然擬似距離の下界を提供する。
• マッチング距離は、測定関数の$L_∞$-位相に関して連続であり、微小な摂動に対しても安定性が保証される。
• マッチング距離が最良の可能な下界であることが証明されている：他のいかなるサイズ関数間の距離でも、よりきつい下界を生成できない。
• 任意の縮小サイズ関数のペアに対して、その自然擬似距離がマッチング距離に正確に等しくなるような位相空間および測定関数が存在する。
• マッチング距離は、タム関数の場合にバトルネック距離に簡約され、これはパーシステントホモロジー理論と関連づけられる。
• 不等式 $\ell^*_{(\mathcal{M},\varphi)}(x,y) > \ell^*_{(\mathcal{N},\psi)}(\xi,\eta)$ を満たすペアの上での $s = \sup_A \min\{\xi - x, y - \eta\}$ は、下界を提供するが、マッチング距離により改善され、実際に $s$ 以上であることが示されている。