[論文レビュー] Naturally reductive Riemannian manifolds

Silvio Reggiani|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Advanced Differential Geometry Research被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正規同次空間および自然的再縮小リーマン多様体における標準接続に関して、アフィン変換群の連結成分を幾何学的に決定し、自然的再縮小の場合の等長群の分類を完了する。さらに、正規同次空間における全回転群の固定点集合がトーラスであることを証明し、これらの結果を応用して、同次ファイブレーションのホロノミー群がリー群であることを示し、GuijarroとWalschapの結果を確認する。

ABSTRACT

Abstract. A very important class of homogeneous Riemannian manifolds are the so-called normal homogeneous spaces, which have associated a canonical connection. In this work we obtain geometrically the (connected component of the) group of affine transformations with respect to the canonical connection for a normal homogeneous space. The naturally reductive case is also treated. This completes the geometric calculation of the isometry group of naturally reductive spaces. In addition, we proof that for normal homogeneous spaces the set of fixed points of the full isotropy is a torus. As an application of our results it follows that the holonomy group of a homogeneous fibration is contained in the group of (canonically) affine transformations of the fibers, in particular this holonomy group is a Lie group (this is a result of Guijarro and Walschap). 1.

研究の動機と目的

• 正規同次空間における標準接続に関して、アフィン変換群の連結成分を幾何学的に計算すること。
• この計算を自然的再縮小の場合に拡張し、そのような空間における等長群の幾何学的決定を完了すること。
• 正規同次空間における全回転群の固定点集合がトーラスであることを証明すること。
• 結果を応用して、同次ファイブレーションのホロノミー群がリー群であることを示し、GuijarroとWalschapの結果を確認すること。

提案手法

• 正規同次空間に関連する標準接続を用いて、接続を保存するアフィン変換を分析する。
• 幾何学的技法を適用して、自然的再縮小設定におけるアフィン変換群の単位成分を計算する。
• 回転表現およびその固定点集合を分析し、正規同次空間においてそれがトーラスをなすことを示す。
• 同次ファイブレーションの構造と標準接続の性質を活用して、ホロノミー群を制約する。
• 表現論的およびリー群論的道具を用いて、ホロノミー群がリー群であることを導出する。
• 同次ファイブレーションのファイバーのアフィン構造とホロノミー群のリー群性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規同次空間における標準接続に関して、アフィン変換群の連結成分の構造は何か？
• RQ2 標準接続を用いて、自然的再縮小リーマン多様体の等長群を幾何学的にどのように決定できるか？
• RQ3 正規同次空間における全回転群の固定点集合は、必然的にトーラスか？
• RQ4 同次ファイブレーションのホロノミー群は必然的にリー群であるか？ もしそうならば、その理由は何か？

主な発見

• 正規同次空間におけるアフィン変換群の連結成分は、標準接続を用いて幾何学的に計算された。
• 自然的再縮小リーマン多様体の等長群は、幾何学的手法によって完全に決定され、これにより先行研究が完了した。
• 正規同次空間における全回転群の固定点集合がトーラスであることが証明された。
• 同次ファイブレーションのホロノミー群がリー群であることが示され、GuijarroとWalschapの結果が確認された。
• 標準接続は、同次ファイブレーションにおけるアフィン群およびホロノミー群の構造を制約する中心的役割を果たす。