[論文レビュー] Navier-Stokes-alpha model: LES equations with nonlinear dispersion

J. Andrzej Domaradzki, Darryl D. Holm|ArXiv.org|Mar 23, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、非線形分散を有する大渦シミュレーション（LES）フレームワークとして、ナビエ＝ストークス-アルファ（NS-$\alpha$）モデルを導入し、これが一般化されたLES類似モデルの一種に対応することを示している。また、これらのモデルに近似逆演算を適用することでケルビンの循環定理が回復され、NS-$\alpha$モデルが小スケールの自己相互作用を抑制しながら大スケールの非局所的スイーピング効果を保持することを明らかにした。その結果、物理的不変性を損なわずに計算効率が向上することが示された。

ABSTRACT

We present a framework for discussing LES equations with nonlinear dispersion. In this framework, we discuss the properties of the nonlinearly dispersive Navier-Stokes-alpha model of incompressible fluid turbulence --- also called the viscous Camassa-Holm equations and the LANS equations in the literature --- in comparison with the corresponding properties of large eddy simulation (LES) equations obtained via the approximate-inverse approach. In this comparison, we identify the spatially filtered NS-alpha equations with a class of generalized LES similarity models. Applying a certain approximate inverse to this class of LES models restores the Kelvin circulation theorem for the defiltered velocity and shows that the NS-alpha model describes the dynamics of the defiltered velocity for this class of generalized LES similarity models. We also show that the subgrid scale forces in the NS-alpha model transform covariantly under Galilean transformations and under a change to a uniformly rotating reference frame. Finally, we discuss in the spectral formulation how the NS-alpha model retains the local interactions among the large scales, retains the nonlocal sweeping effects of large scales on small scales, yet attenuates the local interactions of the small scales amongst themselves.

研究の動機と目的

• NS-$\alpha$モデルが非線形分散を有する大渦シミュレーション（LES）方程式とどのように関連するかを理論的枠組みで確立すること。
• フィルタリングと脱畳み処理を通じて、NS-$\alpha$モデルが一般化されたLES類似モデルとどのように関係するかを明確にすること。
• 近似逆演算を適用することで、NS-$\alpha$モデルがケルビンの循環定理をどのように回復するかを示すこと。
• 三重相互作用とスケール分離の観点から、NS-$\alpha$モデルのスペクトル的挙動を分析すること。
• ナビエ＝ストークス方程式と比較して、自由度の削減と計算コストの低減を定量的に評価すること。

提案手法

• ケルビンの循環定理をフィルタリングすることでNS-$\alpha$モデルを導出し、長さスケール$\alpha$に依存する非線形分散項を導入した。
• モデルは、導関数を含む追加の小スケール（SGS）応力項を持つ一般化されたLES類似モデルとして解釈された。
• 脱畳み速度場におけるケルビンの循環定理を回復するために、近似逆演算による脱畳み手順が適用された。
• フーリエ変換を用いたスペクトル解析により、波数間の三重相互作用を検討し、高波数モードに$1/(1 + \alpha^2 k^2)$の減衰因子を適用した。
• 局所的および非局所的三重相互作用の観点から、モデルの挙動を分析し、渦粘性型とスイーピング型の効果を区別した。
• 自由度とアトラクタ次元の解析的推定値を、$N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$および$D_{\text{frac}} \leq (N_{\text{dof}}^{\alpha})^{3/2}$を用いて導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NS-$\alpha$モデルは、構造的および物理的整合性の観点から、標準的なLES類似モデルとどのように異なるか？
• RQ2 一般化されたLESモデルクラスに対して近似逆演算を適用することで、NS-$\alpha$モデルにおけるケルビンの循環定理を回復できるか？
• RQ3 NS-$\alpha$モデルのスペクトル的挙動は、大スケールと小スケール間の三重相互作用の観点からどのように特徴づけられるか？
• RQ4 NS-$\alpha$モデルは、小スケールの自己相互作用をどのように抑制しながら、大スケールのスイーピング効果を保持するか？
• RQ5 ナビエ＝ストークス方程式と比較して、自由度と計算コストはどの程度削減されるか？

主な発見

• NS-$\alpha$モデルは、導関数に基づく追加の小スケール（SGS）応力項を有する一般化されたLES類似モデルのクラスに対応する。
• このクラスのモデルに近似逆演算を適用することで、脱畳み速度場におけるケルビンの循環定理が回復され、NS-$\alpha$モデルがその背後にある力学的系であることが確認された。
• NS-$\alpha$モデルは、大スケールが小スケールに及ぼす非局所的スイーピング効果を保持しており、相互作用に寄与するモードの一つが$k < 1/\alpha$、もう一つが$k \sim O(k)$を満たす。
• モデルは、小スケール（$k > 1/\alpha$）における局所的三重相互作用および両方のモードが$k > 1/\alpha$を満たす非局所的渦粘性型相互作用を抑制するが、大スケールの影響は保持される。
• NS-$\alpha$モデルの自由度は$N_{\text{dof}}^{\alpha} \simeq (L/\alpha) \text{Re}^{3/2}$であり、ナビエ＝ストークス方程式の値$N_{\text{dof}}^{\text{NS}} \simeq \text{Re}^{9/4}$と比較して顕著に小さい。その結果、高レイノルズ数下で$(\alpha/L)^{4/3} \text{Re}$のオーダーの計算高速化が達成される。
• モデルは、ガリレオ変換および一様回転フレーム変換の下で小スケール力が共変的に変換されることを示し、物理的整合性を保持している。