[論文レビュー] Navier-Stokes and stochastic Navier-Stokes equations via Lagrange multipliers

Ana Bela Cruzeiro|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、圧力が非圧縮性を強制するラグランジュ乗数として機能する、確率的変分原理を用いて、決定論的および確率的ナビエ＝ストークス方程式を導出する。流体粒子の軌道を漂移 $ v $ を持つ確率的拡散過程としてモデル化することで、運動エネルギーと制約項を含む作用関数の臨界点としてナビエ＝ストークス方程式が得られ、保存量は確率的ノイター型定理によって特定される。

ABSTRACT

We show that the Navier-Stokes as well as a random perturbation of this equation can be derived from a stochastic variational principle where the pressure is introduced as a Lagrange multiplier. Moreover we describe how to obtain corresponding constants of the motion.

研究の動機と目的

• d次元トーラス上での決定論的ナビエ＝ストークス方程式に対する確率的変分原理を確立すること。
• 粘性項 $ \nu\Delta v $ が、任意の方法で導入されたエネルギー散逸ではなく、根本的な確率的拡散過程に由来することを解釈すること。
• 確率的作用関数の臨界点として対応する確率的ナビエ＝ストークス方程式を導出すること。
• 空間平均対称性を用いた一般化されたノイター定理により、確率的設定における保存量を同定すること。
• アーノルドおよびエイビン＝マーズデンのアプローチを散乱系に拡張することで、幾何流体力学と確率過程を統合すること。

提案手法

• 作用関数 $ S(g,p) = S^1(g,p) + S^2(g,p) $ の臨界点としてナビエ＝ストークス方程式を定式化し、$ g_t(x) $ を漂移 $ v $ と拡散係数 $ \sqrt{2\nu} $ を持つ確率的拡散過程とする。
• 非圧縮性制約 $ \det \nabla g_t(x) = 1 $ を強制するため、圧力 $ p $ をラグランジュ乗数として導入し、項 $ \int p(t,g_t(x))(\det \nabla g_t(x) - 1) \, dtdx $ を用いる。
• 経路 $ g_t $ および圧力場 $ p $ に関する作用関数の変分を適用し、オイラー＝ラグランジュ方程式を導出し、ナビエ＝ストークスPDEが得られる。
• 確率過程の漂移を一般化された微分作用素 $ D_t $ で定義し、$ D_t g_t(x) = v(t,g_t(x)) $ とし、Itôの公式を用いて $ D_t v(t,g_t(x)) $ を計算する。
• ウィーナー過程 $ W_t $ に関する確率積分を含む確率的作用関数 $ \tilde{S}(\xi,p) $ を考察し、ストラトノビッチ型SDEに至る。
• 空間にわたる対称性の変分を統合することで、確率的ノイター定理を適用し、保存量が確率的微分作用素 $ \mathcal{L}_t = \partial_t + (v\cdot\nabla) + \nu\Delta $ の作用下でマルティンゲールであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的ナビエ＝ストークス方程式は、圧力がラグランジュ乗数として機能する確率的変分原理から導出可能か？
• RQ2 粘性項 $ \nu\Delta v $ は、物理的散逸を仮定せず、確率的拡散過程に由来するものとしてどのように導かれるか？
• RQ3 伊藤積分およびストラトノビッチ積分を含む確率的作用関数から導かれる確率的ナビエ＝ストークス方程式の形は何か？
• RQ4 確率的設定において保存量をどのように特定できるか、そして古典的ノイター不変量とはどのように異なるか？
• RQ5 空間平均対称性は、確率的流体流れにおける保存量を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• ナビエ＝ストークス方程式は、確率的作用関数の臨界点として得られ、圧力が確率的流れ $ g_t(x) $ の非圧縮性を強制するラグランジュ乗数として機能する。
• 粘性項 $ \nu\Delta v $ は、確率的拡散過程 $ dg_t(x) = \sqrt{2\nu} dW_t + v(t,g_t(x)) dt $ のItô補正に自然に由来し、事前に散逸を仮定しない。
• 確率的ナビエ＝ストークス方程式は、ストラトノビッチ形式で $ dv + (v\cdot\nabla)v \, dt = \sqrt{2\nu} \nabla v \circ dW_t \, dt - \nabla p \, dt $ として導出され、$ v $ は発散なし。
• 保存量は確率的ノイター定理により特定される：ラグランジアンが対称性 $ \eta $ に関して不変ならば、$ \int \mathcal{L}_t (v\eta - G) \, dx = 0 $ が成り立つ。ここで $ \mathcal{L}_t $ は確率的微分作用素である。
• この結果は、空間にわたる積分を用いることで、古典的ノイターの定理を一般化し、保存量が確率的時間発展の下でマルティンゲールであることを示している。
• この手法は[2]における構成を用いて一般リーマン多様体へ拡張可能であり、平坦なトーラスを超えたより広範な幾何的応用性を示唆している。