[論文レビュー] Navier-Stokes Equations for Low-Temperature One-Dimensional Fluids

Andrew Urichuk, Stefano Scopa+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2023

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 100被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、反発的相互作用を有するLieb-Liniger模型に対して一般化流体力学（GHD）の低温極限をとることで、低温1次元量子流体の普遍的なナビエ＝ストークス流体力学的記述を導出する。動的粘性係数が温度に比例し、Luttinger液体パラメータ$K$と圧縮率を用いて普遍的に表現可能であり、絶対零度でも有限な粘性係数を有することを示しており、衝撃波の正則化とギャップのない1次元系における粘性流体力学の妥当性を裏付ける。

ABSTRACT

We consider one-dimensional interacting quantum fluids, such as the Lieb-Liniger gas. By computing the low-temperature limit of its (generalised) hydrodynamics we show how in this limit the gas is well described by a conventional viscous (Navier-Stokes) hydrodynamics for density, fluid velocity and the local temperature, and the other generalised temperatures in the case of integrable gases. The dynamic viscosity is proportional to temperature and can be expressed in a universal form only in terms of the emergent Luttinger Liquid parameter $K$ and its density. We show that the heating factor is finite even in the zero temperature limit, which implies that viscous contribution remains relevant also at zero temperatures. Moreover, we find that in the semi-classical limit of small couplings, kinematic viscosity diverges, reconciling with previous observations of Kardar-Parisi-Zhang fluctuations in mean-field quantum fluids.

研究の動機と目的

• 1次元相互作用を有する量子流体（例：Lieb-Liniger気体）の低温流体力学的記述を導出すること。
• 一般化流体力学（GHD）が低温極限において粘性（ナビエ＝ストークス）流体力学をどのように再生するかを特定すること。
• Luttinger液体パラメータ$K$と圧縮率を用いて動的粘性係数の普遍的表現を確立すること。
• 特に衝撃波の正則化に関連して、絶対零度極限における粘性係数の振る舞いと熱化挙動を調査すること。
• 半古典的極限における運動粘性係数の発散と、平均場量子系におけるKardar-Parisi-Zhang（KPZ）フラクチュエーションの整合性をとること。

提案手法

• 反発的相互作用を有するLieb-Liniger模型の一般化流体力学（GHD）の低温極限をとること。
• 急速度分布の積分を用いて有効な粘性係数を計算し、拡散核の無限結合強度極限から拡散補正を抽出すること。
• Luttinger液体パラメータ$K$と圧縮率を用いて、微視的詳細に依存しない動的粘性係数の普遍的表現を構築すること。
• $c \to \rho$極限および$T \to 0$極限における粘性係数の振る舞いを解析し、絶対零度でも粘性係数が有限に保たれることを示すこと。
• 有限温度および絶対零度極限におけるフェルミ重みへの空間微分を適用し、低温極限と空間微分の可換性を示すこと。
• 急速度変数に関する積分（$\theta$, $\theta^2/2$, 拡散核を含む）を評価することで、流体力学方程式における粘性補正項を導出すること。

Figure 1: Evolution of the excess density $\delta\rho=\rho-\rho_{\infty}$ for an initial bump obtained as the ground state density of ( 1 ) with interaction $c=1$ and Gaussian potential $V(x)=-\mu-A\exp(-x^{2}/\sigma^{2})$ , released at $t>0$ ; here $\sigma=1$ , $A$ and $\mu$ are set such that the b

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子流体において、一般化流体力学（GHD）の低温極限から粘性流体力学（ナビエ＝ストークス）が出現するか？
• RQ2 低温1次元量子流体における動的粘性係数の普遍的形は何か？また、Luttinger液体パラメータ$K$にどのように依存するか？
• RQ3 絶対零度においても粘性寄与が有限であるか？また、可積分性の欠如下で衝撃波が正則化されるか？
• RQ4 半古典的極限における運動粘性係数はどのように振る舞い、KPZ型フラクチュエーションと整合するか？
• RQ5 GHDにおける流体力学場の空間微分に対して低温極限を一貫して適用可能か？

主な発見

• 動的粘性係数は温度に比例し、$\mu(\rho,T) = \frac{4T}{\pi c^2}\rho$として普遍的に表現可能であり、$K$と圧縮率にのみ依存する。
• 絶対零度極限でも粘性係数が有限に保たれることから、粘性効果は摂動的でなく、衝撃波の正則化に不可欠であることが示唆される。
• 低温極限と空間微分の順序交換が可能であり、流体力学的記述の一貫性が保証される。
• 半古典的極限（$c \gg 1$）において運動粘性係数は発散し、平均場量子系におけるKPZ型フラクチュエーションの既知の観察と整合する。
• GHDから導出された粘性流体力学方程式は、Euler流体力学では形成されるべき衝撃波を完全に正則化しており、低温ギャップのない系に対して粘性CHDが有効な記述であることを示している。
• 導出結果により、ナビエ＝ストークス方程式が低温1次元流体の正しい流体力学的記述として出現し、低温領域における多体量子効果が粘性を生じることを確認した。