[論文レビュー] Navier-Stokes Hamiltonian for the Similarity Renormalization Group

Billy D. Jones|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可撓性粘性流体に対して、最初の原理からナビエ＝ストークスのハミルトニアンを導出し、六つのスカラー位相を動的座標として用い、非ホノモニックなエントロピー制約を組み込む。主な貢献は、散逸的で正準的なポアソン括弧を持つ一貫性のあるハミルトニアン枠組みであり、これにより、ハミルトニアンの流れ方の式を用いて、乱流に対する類似性縮重群（SRG）の応用が可能になる。

ABSTRACT

The Navier-Stokes Hamiltonian is derived from first principles. Its Hamilton equations are shown to be equivalent to the continuity, Navier-Stokes, and energy conservation equations of a compressible viscous fluid. The derivations of the Euler and Navier-Stokes Hamiltonians are compared, with the former having identical dynamics to the Euler equation with the viscosity terms of the Navier-Stokes equation dropped from the beginning. The two Hamiltonians have the same number of degrees of freedom in three spatial and one temporal dimension: six independent scalar potentials, but their dynamical fields are necessarily different due to a theory with dissipation not mapping smoothly onto one without. The dynamical coordinate field of a dissipative fluid is a vector field that stores the initial position of all of its fluid particles. Thus these appear to be natural coordinates for studying arbitrary separations of fluid particles over time. The classical similarity renormalization group is introduced and the first steps are carried out deriving a flow equation for the Navier-Stokes Hamiltonian. Finally, the symmetries of a nonrelativistic viscous fluid are discussed through its galilean algebra with dissipative canonical Poisson brackets.

研究の動機と目的

• 散逸を一貫して組み込んだ圧縮性粘性流体のためのハミルトニアン場理論枠組みを構築すること。
• エントロピーに関する非ホノモニック制約を用いて、最初の原理からナビエ＝ストークスのハミルトニアンを導出すること。
• エネルギーおよび運動量保存と整合する散逸的で正準的なポアソン括弧構造を確立すること。
• 類似性縮重群（SRG）を流体力学および乱流に応用する基盤を築くこと。
• 散逸的ダイナミクスを伴う非相対論的粘性流体のギャリレオ代数を通じた対称性を分析すること。

提案手法

• 粘性流体のラグランジアンを用いて、変分原理およびエントロピーに関する非ホノモニック制約を用いて、ナビエ＝ストークスのハミルトニアンを導出する。
• 六つの独立したスカラー位相を動的座標として導入し、初期位置から現在の粒子位置への写像のヤコビアンを用いて速度場を符号化する。
• 正準共共役運動量を用いてハミルトニアンを構成し、連続の式、ナビエ＝ストークス方程式、エネルギー保存則に相当するハミルトニアン方程式を導出する。
• 非ホノモニックなエントロピー制約を尊重する関数微分法を用いて、散逸的で正準的なポアソン括弧を確立する。
• 古典的類似性縮重群（SRG）を用いて、ナビエ＝ストークスのハミルトニアンの流れ方の式を導出し、流体力学のスケール別統合を可能にする。
• 生成子（質量、運動量、角運動量、ブースト）のポアソン括弧をハミルトニアンと計算することでギャリレオ代数を検証し、散逸的ダイナミクス下でも保存則が成立することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性流体のナビエ＝ストークス方程式は、最初の原理に基づいて、正準的ハミルトニアン運動方程式として導出可能か？
• RQ2 正準的ポアソン括弧を持つハミルトニアン場理論枠組みに、散逸を一貫して組み込む方法は何か？
• RQ3 初期粒子位置を用いて記述した場合、粘性流体の力学的自由度の構造はどのようになるか？
• RQ4 類似性縮重群（SRG）枠組みは、乱流の研究に向けたナビエ＝ストークスのハミルトニアンにどのように適用可能か？
• RQ5 非相対論的粘性流体の対称性は何か？また、散逸的ポアソン括弧構造下で、それらの対称性はどのように閉じるか？

主な発見

• エントロピーに関する非ホノモニック制約を用いて、最初の原理からナビエ＝ストークスのハミルトニアンを導出し、標準的な連続の式、運動量保存則、エネルギー保存則と等価であることを保証した。
• 動的座標は、初期粒子位置を符号化する六つのスカラー位相から構成され、時間経過に伴う流体粒子の分離を自然に記述する基底を形成する。
• ハミルトニアン方程式はナビエ＝ストークスのダイナミクスを正確に再現し、散逸的で正準的なポアソン括弧構造はエネルギーおよび運動量保存則を保持する。
• 古典的類似性縮重群（SRG）枠組み内において、ナビエ＝ストークスのハミルトニアンの流れ方の式が導出され、流体力学のスケール別解析が可能になった。
• ギャリレオ代数は散逸的ポアソン括弧下でも閉じており、重心や運動量の生成子の時間微分が、重心の自由運動といった物理的対称性に対応することが示された。
• 重心の運動が自由粒子の運動に従うことが示された：$\mathbf{R}_{cm} = \mathbf{R}_{cm}(0) + \mathbf{P}t/M$、これは直接的にハミルトニアンおよびポアソン括弧構造から導出された。